Posibles arreglos ¿Cartas?

Question

¿Cuántas disposiciones son posibles de las letras en EZPZ PUEDO HACERLO que tiene cinco vocales (A, E, I, I, O) y siete consonantes (C, D, N, P, T, Z, Z).

a) si no hay restricciones,

b) si las letras deben estar en orden alfabético?

c) si las vocales deben estar juntas?

d) Palabras de 6 letras si las vocales deben estar juntas.

Answer 1

(a) Si no hay restricciones, permutamos. Sin embargo, como $I$ y $Z$ se repiten dos veces, tenemos que dividir según la distribución multinomial:

$$\dfrac{12!}{2! * 2!}$$

(b) Si se cuentan los dos $I$ y dos $Z$ caracteres como el mismo, sólo hay una cadena con las letras en orden alfabético. Si se cuentan los dos $I$ y dos $Z$ como distintos, podemos intercambiarlos, por lo que obtenemos $4$ maneras. Yo personalmente trataría el $I$ y $Z$ caracteres como el mismo.

(c) Empieza por agrupar las vocales. Hay $\dfrac{5!}{2!}$ formas de permutar las vocales. A continuación, permutamos las consonantes. Hay $\dfrac{7!}{2!}$ formas de hacerlo. A continuación, se coloca el grupo de vocales en la cadena de consonantes. Hay $8$ formas de hacerlo. Así que por regla de producto, obtenemos: $$\dfrac{5! * 7!}{2! * 2!} * 8 $$

(d) Volvemos a permutar las vocales, lo que nos da $\dfrac{5!}{2!}$ . A continuación, elegimos una consonante. El $z$ se cuenta dos veces, por lo que tenemos $6$ formas de elegir una consonante. Debe ir al principio o al final. Hay dos formas de hacerlo. Así que por regla de producto obtenemos:

$$ \dfrac{5!}{2!} * 6 * 2 = 6! $$