Si $f(x) \cdot x < 0$ para todos $x \in \partial B_R(0)$ , entonces el PIV $x' = f(x)$ , $x(0) = x_0$ tiene una solución global.

Question

Tengo un problema de deberes que pide

Si $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ es continuamente diferenciable y satisface $$ f(x) \cdot x < 0 \quad \quad \text{for all } x \in \partial B_R(0) $$ para algunos $R > 0$ (donde $B_R(0)$ es la bola abierta centrada en el origen de radio $R$ ), entonces el problema de valor inicial $$ x' = f(x), \quad x(0) = x_0 $$ tiene una solución global para cada $x_0 \in B_R(0)$ .

Sé que $f$ es localmente Lipschitz porque $f$ es continuamente diferenciable y $B_R(0)$ es abierto y conexo, por lo que el teorema de existencia de Picard dice que de hecho hay una solución. Digamos que el intervalo máximo de existencia es $I = (\alpha, \beta)$ y supongamos, por si acaso, que $\beta \neq \infty$ . Tengo un teorema a mano que dice:

Para cualquier subconjunto compacto $K \subseteq B_R(0)$ existe un $\beta_K < \beta$ tal que $x(t) \in B_R(0) \setminus K$ para todos $t \in (\beta_K, \beta)$ .

Ahora creo que debería considerar la secuencia de conjuntos compactos $\left\{ \overline{B_{R - \frac{1}{n}}(0)} \right\}_{n=1}$ . Para cada uno de ellos hay algún $\beta_n < \beta$ tal que $R - \frac{1}{n} < \| x(t) \| < R$ por cada $t \in (\beta_n, \beta)$ ...

Aquí es donde estoy atascado. La suposición sobre el producto punto casi seguro que va a entrar en juego pronto, pero no veo cómo usarlo para mostrar alguna contradicción. Siento que estoy muy cerca.

Answer 1

En primer lugar, para cada PIV que goza de unicidad, existe una solución definida en un intervalo máximo $[0,T)$ , donde $T\le\infty$ . Tenemos que demostrar que $T=\infty$ .

A continuación, observe que, debido a la continuidad de $f$ y la compacidad de $\partial B_R(0)$ existe un $\varepsilon>0$ , de tal manera que $$ x\cdot f(x)<0, \quad \text{for}\,\,\, R-\varepsilon\le \lvert x\rvert\le R. $$

A continuación, demostraremos que $x(t)\in B_{R}(0)$ para todos $t\in [0,T)$ . De lo contrario, habría un $t_0$ , de tal manera que $x(t_0)\in\partial B_{R(0)}$ y $x(t)\in B_{R}(0)$ , para $t<t_0$ . En particular, existiría una $\delta>0$ , de tal manera que $t_0-\delta>0$ y $$ R-\varepsilon\le\lvert x(t)\rvert< R, \quad\text{for}\,\,\, t\in [t_0-\delta,t_0). $$ Pero en tal caso tendríamos que $$ 0<\frac{1}{2}\big(\lvert x(t_0)\rvert^2-\lvert x(t_0-\delta)\rvert^2\big) =\int_{t_0-\delta}^{t_0}x(t)\cdot x'(t)\,dt =\int_{t_0-\delta}^{t_0}f\big(x(t)\big)\cdot x(t)\,dt<0, $$ que es una contradicción. Por lo tanto, $x(t)\in B_{R}(0)$ para todos $t\in [0,T)$ .

A continuación, utiliza el hecho de que:

Si la función $x :[0,T)\to\mathbb R^n$ con $T<\infty$ satisface la ecuación $x'=f(x)$ y $x$ acotado, entonces el límite $\lim_{t\to T} x(t)$ existe en $\mathbb R^n$ y $x$ se extiende como una función continuamente diferenciable en $[0,T]$ .

Diga $\lim_{t\to T} x(t)=\xi$ . A continuación, el PIV $$ x'=f(x), \quad x(T)=\xi, $$ disfruta de la existencia es algún intervalo $(T-a,T+a)$ y su solución amplía la anterior, que tenía el dominio $[0,T)$ , a $[0,T+a)$ .

Así, $T$ no puede ser un número finito, y por tanto $x$ es definible en $[0,\infty)$ .

Answer 2

Esta es la idea: una solución definida en un intervalo $(\alpha, \beta)$ con $\beta < \infty$ no puede extenderse más allá de $\beta$ si y sólo si $\lim_{t \nearrow \beta} x(t) = \infty$ es decir, la solución se escapa al infinito como $t$ pulgadas hasta $\beta$ . Supongamos que la solución se escapa al infinito en el intervalo $(\alpha, \beta)$

Lo que tiene con $S(0,R)$ es una barrera compacta. Tienes una función $b(x)= ||x||^2$ con un conjunto compacto de subniveles $\{ b \le R^2\}$ para que $\nabla b(x)\cdot f(x) <0$ para todos $x$ para que $b(x) = R^2$ ( el campo vectorial $f$ apunta a los valores más bajos de $b$ ). Debería ser intuitivamente claro que si se empieza inicialmente en $\{ b \le R^2\}$ nunca se puede escapar de ella. Por lo tanto, no se puede llegar al infinito en un tiempo finito, de ahí que toda solución que comience en la bola $B(0,R)$ está definido globalmente. Estoy mirando tu solución y noto que no estás usando completamente la condición de escapar al infinito. En algún punto cercano a $\beta$ la solución estará en la esfera. Tomemos el primer punto de este tipo. Hay tales puntos. ¿Por qué? No consideres sólo los compactos dentro de la esfera, cualquier compacto servirá, ya que $f$ se define globalmente. Así que en algún momento antes de $\beta$ estás fuera, así que debes haber cruzado la esfera antes. Toma el primer momento del cruce.

Obsérvese que una solución no puede escapar de la bola $\bar B(0,R)$ incluso si la condición más débil $x \cdot f(x) \le 0$ sostiene. De forma más general, una solución no puede escapar del conjunto de sublevados $\{b(x) \le \rho\}$ si en el nivel establecido $b(x) = \rho$ tenemos $\nabla b \ne 0 $ y $\nabla b (x) \cdot f(x) \le 0$ .