Mostrar $\forall \delta > 0, \exists n \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{n} < \delta$

Question

La pregunta está en el título, pero no tengo ni idea de cómo resolverla, así que se agradecerían algunas pistas, gracias.

Answer 1

Supongamos que la afirmación es falsa. Entonces, tenemos $\delta>0$ tal que $\delta^{-1}>n$ para todos $n$ . Esto contradice la propiedad de Arquímedes. Suponiendo que $\mathbb{R}$ se define de forma axiomática, esta propiedad se deriva fácilmente como consecuencia del axioma del mínimo límite superior.

Answer 2

Dado $\delta$ , dejemos que $k = \frac{1}{\delta}$

$$\delta = \frac{1}{\frac{1}{\delta}} = \frac{1}{k}$$

Considere $ \frac{1}{\lfloor k+1 \rfloor}$ .