Secuencias reales que suma a 0, se multiplican a 1.

Question

¿Existen dos secuencias $(x_n)_n$, $(y_n)_n$ de reales números tal que $\lim_n x_n-y_n\neq 0$ (puede no existir), $\lim_n x_n+y_n=0$ y $\lim_n x_ny_n=1$?

Aviso que no puede ser el caso que ambas secuencias son convergentes, o incluso limitada, ya que tomando subsecuencias convergentes, decir con límites $x$ y $y$, tendríamos que $x+y=0$ y $xy=1$, que no hay soluciones reales.

Answer 1

Uso a

$$(x_n+y_n)^2-4x_ny_n=(x_n-y_n)^2.$$

Así $(x_n-y_n)^2$ tiene un límite. Si tomamos límites entonces

$$-4=0-4=\lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)^2-4\lim_{n\to \infty}x_ny_n=\lim_{n\to\infty}((x_n+y_n)^2-4x_ny_n)=\lim_{n\to\infty}(x_n-y_n)^2.$$

Pero esto da una contradicción, puesto que $(x_n-y_n)^2\ge 0,\forall n\in \Bbb{N}.$

Por lo tanto, no existen las secuencias.

Answer 2

Asumir hacia una contradicción que no son tales secuencias de $(x_n)_n$$(y_n)_n$. Debido a $\lim_n x_n y_n$ es positivo, $x_n$ $y_n$ eventualmente tienen el mismo signo. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que para una infinidad de $n$ son positivos. Pasando a una larga podemos suponer que la $x_n$ $y_n$ son positivos para todos los $n$. A continuación, $x_n$ $y_n$ entre $0$$x_n + y_n$, que se aproxima a cero como $n \to \infty$, lo $x_n$ $y_n$ mismos enfoque de cero como $n \to \infty$. Por lo tanto,$\lim_n x_ny_n = 0$, lo cual es una contradicción.