¿Cuáles son los principales momentos de inercia? (En relación con los valores propios, los vectores propios y las masas puntuales)

Question

No tengo una pregunta real, sin embargo, me gustaría saber y entender cómo calcular el momento principal de inercia de una masa. ¿Qué es el momento principal de inercia? Para encontrarlo, ¿necesito valores propios y vectores propios? Por ejemplo, si hubiera dos masas unitarias situadas en (x, y, z) y (x, y, z). Donde los valores propios determinados son 1 y 2. Y los vectores propios son (-1, -1, 1)' y (0, 0, 1)'. (Estos son totalmente inventados para ayudar a mi explicación).

Cualquier pensamiento y conocimiento sobre este tema sería muy apreciado. Pido disculpas por la vaguedad de mi pregunta.

Answer 1

En primer lugar, calcula el tensor de momento de inercia $\mathbf{I}$ . Esto se hace integrando el momento de inercia de cada elemento de masa alrededor del origen, como sigue $$ \mathbf{I} = \int \left(r^2\mathbf{E} - \mathbf{r}\mathbf{r}\right)\rho(\mathbf{r})d^3\mathbf{r} $$ donde $\mathbf{E}$ es el tensor de identidad y $\rho(\mathbf{r})$ es la densidad de masa. Si simplemente tienes una colección de masas puntuales $m_i$ en los lugares $\mathbf{r}_i$ esta integral se reduce a una suma sobre esas masas: $$ \mathbf{I} = \sum_i \left(r_i^2\mathbf{E}-\mathbf{r}_i\mathbf{r}_i\right)m_i. $$ Entonces, ¿cómo $\mathbf{I}$ ¿se relacionan con los ejes principales? Bueno, los ejes principales son los ejes de rotación donde el momento angular $\mathbf L$ es paralela a la velocidad angular $\boldsymbol\omega$ . Por construcción, el tensor de momento de inercia satisface $$ \mathbf{L} = \mathbf{I}\cdot\boldsymbol\omega $$ lo que nos indica inmediatamente que los ejes principales son simplemente los vectores propios de $\mathbf{I}$ y el momento de inercia en torno a cada uno de esos ejes es el valor propio correspondiente.

Si necesitas saber cómo encontrar los vectores propios de una matriz arbitraria, debería haber muchas respuestas por aquí relacionadas con eso.