Cómo demostrar que el límite de un $n$ -¿El círculo es un círculo?

Question

¿Cómo se puede demostrar que un $n$ -gon con perímetro $1$ se aproxima (se convierte) en un círculo cuando $n$ va a (o si $n$ es) el infinito?

No basta con demostrar que todos los puntos pasan a estar a igual distancia del origen, ya que esto también es válido para el objeto límite de la gráfica de mayor área dibujada en la gráfica del cuadrado y encerrada en un círculo a medida que hacemos los cuadrados cada vez más pequeños.

¿Es el círculo el único objeto posible con todos los puntos de distancia $r$ de otro, y el perímetro total $2\pi r$ ?

Answer 1

Podrías definir el círculo como una función continua del intervalo en algún espacio (escoge lo que quieras). A continuación, modele el $n$ -como una función continua a trozos que coincide con el círculo en $n$ puntos en el intervalo. En el límite, el conjunto de puntos en los que coinciden las dos funciones es denso en el intervalo y como ambas son continuas deberían coincidir en el espacio objetivo. Aunque no es una respuesta muy geométrica.

Answer 2

Tu pregunta no está realmente bien definida, ya que no has especificado cómo se mide la proximidad de una figura geométrica al círculo. Una posible definición sería utilizar la Distancia de Hausdorff.

Si lo utilizas tienes que demostrar que para cada $\epsilon >0$ hay un $N$ de manera que si $n>N$ entonces cada punto del círculo está más cerca que $\epsilon$ a un punto de la $n$ -gon y cada punto de la $n$ -gon está más cerca que $\epsilon$ a un punto del círculo.

Esto debería ser bastante fácil. Cualquier punto del círculo está cerca de un vértice del polígono si $n$ es grande y cualquier punto del polígono también está cerca de un vértice si $n$ es grande. Como los vértices se encuentran tanto en el círculo como en el polígono, hemos terminado.