Distancia de un punto a una línea

Question

Encuentra la distancia desde el punto $S(2,2,1)$ a la línea $x=2+t,y=2+t,z=2+t$ .

¿Cómo puedo encontrar la distancia de un punto en $3D$ a una línea?

Answer 1

La ecuación de un plano perpendicular a la recta es $$x+y+z=a.$$ Si este plano pasa por $(2,2,1)$ entonces $a=5$ . Así que el avión $x+y+z=5$ intercepta la línea cuando

$$3t+6=5$$ así que $t=-\frac{1}{3}$ y ahora sólo necesitas la distancia entre $S$ y $(\frac{5}{3},\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$ .

Answer 2

Una forma de hacerlo es la siguiente:

Queremos minimizar la distancia del punto a la recta, lo que equivale a minimizar el cuadrado de la distancia del punto a esa recta. Considerar el cuadrado de la distancia elimina algunas asquerosas raíces cuadradas de abajo.

Aplicando el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la distancia al punto $S$ a un punto arbitrario de la línea viene dada por la función

$$f(t) = t^2 + t^2 + (1+t)^2 = 3t^2 + 2t + 1$$

Ahora, para encontrar la distancia mínima, simplemente tomamos una derivada y la hacemos igual a cero. Sabemos que esto dará un mínimo ya que, intuitivamente, la función no tendrá un máximo.

$$f'(t) = 6t + 2 = 0$$

Y así el punto en la línea cuando $t = -\frac{1}{3}$ debe estar más cerca de $S$ . Ahora sólo hay que calcular la distancia entre $S$ y $(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3})$ .

Answer 3

Considera un vector que te da la dirección de la línea: $\vec{v}=(1,1,1).$ Considera un punto de la línea: $P(2,2,2).$ Ahora, los vectores $\vec{v}=(1,1,1)$ y $\vec{PS}=(0,0,-1)$ determinar un paralelograma. La distancia del punto a la línea es la altura de este paralelogramo cuando consideramos $\vec{v}=(1,1,1)$ como base. Así que la distancia es el área dividida por la base. Obtenemos el área usando el producto cruzado. Así que

$$d(S,r)=\frac{|\vec{v}\times \vec{PS}|}{|\vec{v}|}=\frac{|(-1,1,0)|}{|(1,1,1)|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.$$