Condición necesaria y suficiente para un subcampo

Question

¿Existe alguna condición necesaria y suficiente para determinar si un subconjunto $H$ de un campo determinado $K$ ¿es un subcampo?

En algún periódico he encontrado algo así: $H$ es un campo si para todo $a, b\in H$ tenemos $a-b\in H$ y $ab^{-1}\in H$ .

Pero no estoy seguro de esta propiedad..

¿Puede alguien ayudarme?

Gracias.

Answer 1

La afirmación es falsa tal y como está escrita, ya que podría haber $b=0$ .

Un subconjunto $H$ de $K$ es un subcampo si y sólo si $H$ es un subgrupo de $K$ bajo adición, y los elementos no nulos de $H$ son un subgrupo del grupo multiplicativo de elementos no nulos de $K$ .

Así, $H\subseteq K$ es un subcampo de $K$ si y sólo si:

1. $H\neq\emptyset$ y $H\neq\{0\}$ .
2. Si $a,b\in H$ entonces $a-b\in H$ .
3. Si $a,b\in H$ , $a\neq 0$ , $b\neq 0$ entonces $ab^{-1}\in H$ .

Prueba. Las condiciones se cumplen claramente si $H$ es un subcampo. A la inversa, si $H$ satisface $H\neq\emptyset$ y 2, entonces $H$ es un subgrupo de $K$ . Tomando $r\in H-\{0\}$ (posible ya que $H\neq\{0\}$ y $H\neq\emptyset$ ), estableciendo $a=b=r$ da $1\in H$ y entonces la condición 3 muestra que $H-\{0\}$ es un subgrupo (multiplicativo) de $K-\{0\}$ . Así, $H$ es cerrado bajo adición, productos, inversos aditivos, inversos multiplicativos no nulos, y cada elemento no nulo tiene un inverso. Por lo tanto, $H$ es un campo, por tanto un subcampo de $K$ . $\Box$

Answer 2

HINT $\rm\ \exists\: a\ne 0\in H\ \Rightarrow\ 0 = a-a\in H\ \Rightarrow 1 = a\:a^{-1}\in H\ \Rightarrow 1\cdot a^{-1} = a^{-1}\in H\ $ por lo que $\rm\ b\cdot(a^{-1})^{-1} = b\cdot a\in H\:.\:$ Así, $\rm\:H\:$ es un subring de $\rm\:K\:$ por el prueba de subred . Siendo un anillo no trivial cuyos elementos no nulos son invertibles, $\rm\:H\:$ es un campo.