Me dieron la ecuación del plano $x-y+z =0$ . Ya he demostrado que se trata de un subespacio vectorial. A partir de esto tengo $z = y-x$ . A partir de esto encontré una base. A saber: $<(1,1,0), (1,0,-1)>$ . Mi libro me pide que lo extienda a $\Bbb R^3$ . La verdad es que no sé cómo ampliar la base tal y como está pidiendo.
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laleh8798
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Una combinación lineal de su elección de base para el plano es $a(1,1,0)+b(1,0,-1)=(a+b,a,-b)$ . Ahora elige un vector que no esté en la forma. Claramente $(1,0,0)$ no tiene esta forma y, por tanto, no es una combinación lineal. Por lo tanto, el conjunto $\{(1,1,0),(1,0,-1), (1,0,0)\}$ es una base ampliada.
amd
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2503
Encontrar un vector ortogonal a través del producto cruzado funciona muy bien en $\mathbb R^3$ . Si estás trabajando en un espacio que no es de dimensión 3, la misma idea básica funciona, pero tendrás que enfocarlo de forma un poco diferente. Sigues buscando el complemento ortogonal del subespacio, pero como no puedes usar un producto cruzado, en su lugar forma la matriz $\begin{bmatrix}v_1&\cdots&v_m\end{bmatrix}^T$ donde el $v_k$ son la base del subespacio (es decir, forman la matriz con estos vectores como su filas ) y encontrar su espacio nulo (núcleo).
En este caso, se buscaría el núcleo de $$\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&-1\end{bmatrix}$$ que se puede encontrar para ser el lapso de $(1,-1,1)^T$ mediante la reducción de filas. Para este caso simple, probablemente se puede encontrar este vector a través de la inspección - usted está buscando un vector cuyo producto punto con ambos vectores base del plano es cero.
