conectados en el espacio topológico?

Question

Tengo dificultades con la topología... ¿Cómo verificar o refutar lo siguiente?

Pregunta: Si A es un subconjunto conexo del espacio topológico X, ¿cuál de los siguientes debe ser conexo?

I. el interior de A
II. el cierre de A
III. el complemento de A

Creo que (I) no es correcta, (II) es correcta, (III) no sé....
Pero no sé cómo argumentarlo de manera formal...

¡Gracias por su tiempo!

Answer 1

SUGERENCIA: Tienes razón en cuanto a (I) y (II). (II) es un teorema estándar: si $X$ es un espacio, y $A$ es un subconjunto conexo de $X$ entonces $\operatorname{cl}_XA$ también está conectada. Una forma de demostrarlo es suponer que $\operatorname{cl}_XA$ no está conectado y obtiene una desconexión de $A$ . (Estoy bastante seguro de que también hay pruebas de ello en este sitio, aunque puede que no sea fácil encontrar una).

Para (III) intente tomar $X$ para ser la línea real y su conjunto conectado $A$ sea cualquier subconjunto conexo acotado de $\Bbb R$ .

Para (I) considera un conjunto en el plano que parece dos discos conectados por un segmento de línea.

Answer 2

Para $(2)$ : Una declaración un poco más general que creo que vale la pena decir en este momento es :

Si $A$ es un subconjunto conexo denso de $X$ entonces $X$ está conectado.

Supongamos que no, entonces, tienes $X=U\cup V$ sea una separación para $X$ por conjuntos abiertos (no vacíos, disjuntos).

Entonces, $A=(U\cap A)\cup(V\cap A)$ sería entonces la separación para $A$ . (U,V son abiertos en X así que, $U\cap A,V\cap A$ están abiertas en $A$ )

Pero, $A$ está conectado.... Así que, o bien $U\cap A$ o $V\cap A$ está vacío...

Supongamos que $U\cap A$ está vacía.

como $A$ es todo denso, $A$ tiene intersección no vacía con todo conjunto abierto no vacío.

Así, $U$ debería estar vacío y así, $X$ está conectado.

Ahora, vemos por lo que has preguntado...

$A$ es denso en $\bar{A}$ y $A$ está conectada, por lo que por el resultado anterior vemos que $\bar{A}$ tiene que estar conectado.