Evaluar $\int \frac{1+\cos(x)}{\sin^2(x)}\,\operatorname d\!x$

Question

Estoy tratando de resolver esta integral y he hecho los siguientes pasos para resolverla pero no sé cómo continuar. $$\int \dfrac{1+\cos(x)}{\sin^2(x)}\,\operatorname d\!x$$
$$\begin{align}\int \dfrac{\operatorname d\!x}{\sin^2(x)}+\int \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}\,\operatorname d\!x &= \int \dfrac{\operatorname d\!x}{\sin^2(x)}+\int \frac{\cos(x)}{1-\cos^2(x)} \\ &=\int \sin^{-2}(x)\,\operatorname d\!x + \int \cos(x)\,\operatorname d\!x - \int \frac{\operatorname d\!x}{\cos(x)}\end{align}$$ ¿Alguna sugerencia para continuar?
Gracias.

Answer 1

$$\int \frac{1+\cos(x)}{\sin^2(x)}dx=\int \frac{dx}{\sin^2(x)}+\int \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}dx$$

$$=\int \csc^2xdx+\int\csc x\cot xdx=-\cot x-\csc x+C$$

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Alternativamente, $$\int \frac{1+\cos(x)}{\sin^2(x)}dx=\int \frac{1+\cos(x)}{1-\cos^2(x)}dx=\int \frac{dx}{1-\cos x}$$

$$\text{Use }\cos x=\frac {1-\tan^2\frac x2}{1+\tan^2\frac x2}$$ y poner $\tan\frac x2=u$ ( Sustitución de Weierstrass fórmulas)

Answer 2

Pistas:

$1+\cos x=2 \cos^2 \dfrac{x}{2}$

$\sin^2 x=(2\sin\dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2})^2$

Su expresión será $\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{\sin^2\dfrac{x}{2}}$

Answer 3

Pistas:

$$(1)\;\;\int\frac{1+\cos x}{\sin^2x}dx=\int\frac1{\sin^2x}dx+\int\frac{\cos x}{\sin^2x}dx$$

$$(2)\;\;\;\;\;\;(\cot x)'=-\frac1{\sin^2x}$$

$$(3)\;\;\;\text{for a derivable function}\;f : \int\frac{f'(x)}{f(x)^m}dx=\frac{f(x)^{1-m}}{1-m}+C\;,\;\;\color{blue}{m\neq -1}$$