Este principio afirma que toda afirmación verdadera sobre una variedad sobre el campo de números complejos $\mathbb{C}$ es cierto para una variedad sobre cualquier campo algebraico cerrado de característica 0.
¿Pero qué significa? ¿Hay alguna "declaración" no permitida en este principio?
¿Existe un análogo en char p>0?
¿Hay alguna referencia sobre este tema? He intentado encontrar alguna pero en vano.
Gracias:)
El principio de Lefschetz se formuló e ilustró por primera vez en:
S. Lefschetz, Geometría algebraica , Princeton University Press, 1953.
La idea básica es que toda ecuación sobre algún campo algebraicamente cerrado de característica $0$ sólo implica un número finito de elementos, que generan un subcampo isomorfo a un subcampo de $\mathbb{C}$ . Pero como señala Seidenberg en
A. Seidenberg, Comentarios sobre el principio de Lefschetz , American Monthly (65), nº 9, nov. 1958, 685 - 690
Lefschetz no ha dado una prueba rigurosa y no está del todo claro si se mantiene cuando los métodos analíticos sobre $\mathbb{C}$ se utilizan. El resultado clásico de Tarski de que la teoría de campos algebraicamente cerrados de característica $0$ admite la eliminación del cuantificador y, por lo tanto, todos los modelos son elementalmente equivalentes se denomina "principio menor de Lefschetz", porque no se aplica a ejemplos destacados como el Nullstellensatz de Hilbert.
Una formulación precisa, con una prueba breve, que funciona en cada característica, se puede encontrar aquí:
Paul C. Eklof, Principio de Lefschetz y funtores locales Proc. AMS (37), Nr. 2, feb. 1973, en línea
En el lenguaje de ese documento, el principio establece lo siguiente: Sea $F$ sea un functor de dominios universales de característica $p$ ( = campo algebraicamente cerrado de grado de trascendencia infinito sobre $\mathbb{F}_p$ ) a alguna categoría de estructuras multiordenadas con incrustaciones, que satisface la siguiente condición de finitud: Si $K \subseteq L$ es una extensión, entonces todo subconjunto finito de $F(L)$ ya está incluida en la imagen de una subextensión de grado de trascendencia finito sobre $K$ .
Entonces, para todos los $K,L$ tenemos que $F(K)$ y $F(L)$ son elementalmente equivalentes.
Para un enunciado específico que se quiera demostrar utilizando el principio de Lefschetz, se puede tomar $F(K)$ para ser la colección de toda la "geometría algebraica relevante sobre $K$ ".
Una generalización es tratada en:
Gerhard Frey, Hans-Georg Rück, El principio de Lefschetz fuerte en geometría algebraica , manuscripta math. (55), 385 - 401 (1986)
No estoy seguro de que deba admitir esto en público, pero aunque conozco las formulaciones precisas utilizando la lógica de primer orden y más allá (mencionadas en las respuestas anteriores), tiendo a no utilizarlas. Considero el principio de Lefschetz más bien como un principio filosófico de lo que debería ser posible en general, y hago las comprobaciones necesarias cuando las necesito (pero quizá sólo implícitamente). Sospecho que esta actitud es bastante común entre muchos geómetras algebraicos.
Por poner un ejemplo, durante muchos años las únicas pruebas conocidas* del teorema de fuga de Kodaira eran analíticas. Pero como la cohomología coherente se comporta bien bajo extensiones de campo, la desaparición de Kodaira es válida en campos arbitrarios (no necesariamente cerrados algebraicamente) de característica $0$ . Por otra parte, para ciertos tipos de argumentos, se necesita un campo suficientemente grande para llevar a cabo el argumento. Esto suele ocurrir cuando uno se ve obligado a eliminar una de conjuntos excepcionales. Curiosamente, el argumento Noether- Lefschetz teorema es uno caso de este tipo. Aquí el principio de Lefschetz en el sentido más ingenuo no funcionará.
*(Nota añadida.) Hay ahora una prueba algebraica debida a Deligne e Illusie, que implica reducción a la característica positiva. Se trata de otro tipo de transferencia.
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