¿Qué representa el $Tor^{R}_n(M,N)$?

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo y $M$ $N$ $R$- módulos (no estoy seguro de si lo que uno realmente necesita conmutatividad en la siguiente). Es bien sabido que el $Ext_{R}^n(M,N)$ $n>1$ parametrizes $n$-extensión de la $N$$M$, es decir, secuencias exactas $$ 0\rightarrow M\rightarrow C_{1}\rightarrow \dots \rightarrow C_{n}\rightarrow N\rightarrow 0 $$ mod ciertos equivalente de relaciones. Otra forma de ver $Ext_{R}^n(M,N)$ es a través de derivados de la categoría; puede ser visto como un hom espacio en $D(R-mod)$ $$ Ext_{R}^n(M,N)=Hom_{D(R-mod)}(M,N[n]). $$

Ahora quiero entender lo $Tor^{R}_n(M,N)$ representan. ¿Cómo se debe entender $Tor^{R}_n(M,N)$ intuitivamente?

Answer 1

Similar a $\rm{Ext}^n$, $\rm{Tor}^R_n(A,B)$ para cualquier $n$ puede ser visto como un grupo abelian describe explícitamente como un llamado de torsión del producto, que como un juego se compone de clases de equivalencia de triples $(f,L,g)$ donde $L$ es una longitud de $n$-complejo de finitely generado módulos proyectivos, $f:L\to A$ $g:\rm{Hom}(L,R)\to B$ son de la cadena de mapas con $A,B$ interpretado como los complejos de la cadena concentrado en grado cero. Este es un clásico, pero probablemente no ha oído hablar de él, porque es ignorado en los modernos tratamientos de álgebra homológica. La relación de equivalencia y cómo agregar estos torsión de los elementos se describe por ejemplo en Mac Lane del libro "Homología" (pág.154) y aquí es donde aprendí acerca de estos.

En general, siempre se debe esperar al menos algún tipo de descripción explícita de los derivados de functors de un functor, ya que no suele "estándar" resoluciones acechando en el fondo procedentes de (co)de triples, aunque no estoy seguro de cómo esta descripción de la $\rm{Tor}$ fue pensado.

Answer 2

Que $R=\mathbb{Z}$ para simplicidad y $n=1$. $\mathrm{Tor}^1(-,-)$ Se caracteriza por las siguientes propiedades:

1. $\mathrm{Tor}^1(F,M)$ para todos gratis $\mathbb{Z}$-módulo $F$.
2. $\mathrm{Tor}^1(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},M)=Ker(M\rightarrow M, m\mapsto nm)$
3. $\mathrm{Tor}^1(L\oplus M, N)=\mathrm{Tor}^1(L,N)\oplus \mathrm{Tor}^1(M,N)$
4. $\mathrm{Tor}^1(M,N)=\mathrm{Tor}(N,M)$

$\mathrm{Tor}^1(-,-)$ es esencialmente la torsión común de sus argumentos.