Encontrar el valor de $\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10...}}} $

Question

Me encontré con una pregunta que pide encontrar el valor límite de $$10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt {...}}}}}$$ $ Si hacer la sustitución $x=10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt {...}}}}}$ simplifica $x=10\sqrt{x}$, que tiene soluciones de $x=0,100$. No entiendo cómo $x=0$ es una posible solución, sé que el cuadrado de ecuaciones puede introducir nuevo, no válido soluciones de las ecuaciones y así que usted debe comprobar las soluciones en el original (unsquared) la ecuación, pero haciendo que aquí no conducen a ninguna no soluciones reales o contradicciones. Me preguntaba si alguien sabe como $x=0$ resulta como una solución válida, hay un algebaric o interpretación geométrica? O es sólo un "caso especial" de la ecuación?

Una pregunta similar, dice que para encontrar el valor límite de $\sqrt{6+5\sqrt{6+5\sqrt{6+5\sqrt {...}}}} de dólares, y de hacer una expansión similar de $x$ conduce a $$x=\sqrt{6+5x}$$ $$x^2=6+5x$$ que tiene soluciones de $x=-1,6$. En este caso, sin embargo, usted podría sustituir $x=-1$ en la primera ecuación, que conduce a la contradicción $-1=1$ por lo que podría satisfactoriamente disclude.

Es allí cualquier razonamiento similar para la primera pregunta? Sé que esto podría ser una pregunta estúpida, pero estoy realmente curioso :)

Answer 1

Denotar el problema dado como $x$, entonces \begin{align} x&=10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{\cdots}}}}}\\ &=10\cdot10^{\large\frac{1}{2}}\cdot10^{\large\frac{1}{4}}\cdot10^{\large\frac{1}{8}}\cdot10^{\large\frac{1}{16}}\cdots\\ &=10^{\large1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots}\\ &=10^{\large y} \end{align} donde $y$ es una serie geométrica infinita en la que su valor es \begin{align} y Y=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots\\ &=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\\ Y=2 \end{align} Por lo tanto \begin{ecuación} x=10^{\large 2}=100 \end{ecuación}

Answer 2

Si $x = 10\sqrt {10\sqrt {10\sqrt {10\sqrt {10\sqrt {...}}} $$ entonces es cierto que $x = 10\sqrt x$.

Es no verdadero que si $x = 10\sqrt x$, entonces $$ x = 10\sqrt {10\sqrt {10\sqrt {10\sqrt {10\sqrt {...}}}. $$

$0$ es de hecho una solución, pero no es válido.

Answer 3

Aquí la pregunta es (aparentemente) acerca de la secuencia definida recursivamente por $$ \begin{aligned} a_1&=10,\\ a_{n+1}&=10\sqrt{a_n}\quad \text{para todos los enteros positivos $n$.} \end{aligned} $$ Sucede a menudo que los estudiantes se embarcan en una búsqueda de encontrar el valor del límite de una secuencia antes de verificar que lo que intentan calcular realmente existe. Aquí se debe cumplir en primer lugar con nosotros mismos que $\lim_{n\to\infty}a_n$ realmente existe como un número real. Una práctica herramienta para esto es el teorema nos dice que un almacén de aumento de la secuencia converge hacia un cierto límite de $A$. Aquí es fácil demostrar por inducción que $a_{n+1}>a_n$ para todo $n$, y también que $a_n<100$ para todo $n$. Una parte de ese teorema, entonces se dice que $a_1\le\le 100$. Después de todo, todos los miembros de la secuencia se encuentran en el intervalo cerrado $[10,100]$ por lo que su límite no puede quedar fuera de este intervalo. La recurrencia de la relación (y la continuidad de la raíz cuadrada de la función en ese intervalo de tiempo) a continuación, nos dan la ecuación $A=10\sqrt{A}$ lo que nos permite deducir que $A=0$ o $A=de$ 100. La primera solución, sin embargo, no pertenece a este intervalo, y puede ser descartado como una alternativa.

La ecuación de haber otra solución es sólo una coincidencia. En este caso, así como con la repetición de la fórmula $a_{n+1}=\sqrt{6+5a_n}$.

---

Comparar con los siguientes común el uso indebido de los límites: $$ S=1-1+1-1+1-1+\cdots $$ Algunos se quieren reescribir esto como $$ S=1-(1-1+1-1+1-\cdots)=1-S, $$ la resolución de la ecuación $S=1-S$, y concluyendo que $S=1/2$.

¿Dónde está el error? Es en la primera línea, donde el estudiante trata de la suma de esta serie como si tiene un valor, es decir, como si converge, por el acto de la llamada es de $S$. La moraleja: Cuidado de nombrar cosas que no necesariamente existe :-)

Answer 4

Como alternativa, deje de $a_1,\,a_2,\,a_3,\,\cdots,\,a_n$ ser la siguiente secuencia $$10\sqrt{10},\,10\sqrt{10\sqrt{10}},\,10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10}}},\,\cdots,10\underbrace{\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{\cdots\sqrt{10}}}}}}_{\gran n\,\text{momentos}}$$ respectivamente.

Observe que $$\gran a_n=10^{\Large 2-2^{-n}}$$ Por lo tanto $De$10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{10\sqrt{\cdots}}}}}=\large\lim_{n\to\infty}\, a_n=\lim_{n\to\infty}\,10^{\Large 2-2^{-n}}=\bbox[3pt,border:3px #FF69B4 sólido]{\color{red}{100}}$$

Answer 5

Considerar la secuencia de $a_{n+1}= 10\sqrt{a_n}$ con $a_0 \ge 0$. La expresión que tiene podría ser considerado como el límite de $n \to \infty$, si es que existe.

Además, $a_{n+1} = \sqrt{100 \cdot a_n}$ da $a_{n+1}$ es de entre $100$ y $a_n$. Así que si usted comienza con $a_0 > 0$, usted tiene un buen delimitada monótona secuencia, que converge a un límite y el límite será de $100$.

OTOH si usted comienza con $a_0 = 0$, claramente el límite existe todavía, y usted tiene el límite de $0$.

Como su expresión es ambigua acerca de lo $a_0$ podría ser, consigue ambas soluciones.