¿Engañamos a $\int e^x$ ?

Question

Esta pregunta parece extraña a primera vista, lo reconozco.

$f(x)=e^x$ se puede escribir como serie de la siguiente manera: $f(x)=e^x = \sum \limits_{k=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+...$

Ahora diferenciando $f(x)$ produce $e^x$ de nuevo, ya que tenemos un número infinito de sumandos y la derivación de cada sumando da el de su izquierda.

Hasta aquí todo bien.

Ahora, básicamente en todas partes encontramos esto: $\int \mathrm{d}x \, e^x = e^x+C$ donde C es la constante de integración. Ahora bien, aquí es donde creo que hacemos un poco de trampa. Al integrar cada sumando de $f(x)$ encontramos, que cada sumando se convierte en el que está a su derecha. Pero no hay ninguno a la izquierda de $1$ . De hecho, ¿hacemos esto?

$\int \mathrm{d}x \, e^x = e^x -1 + C = e^x + \tilde{C}$ ? (con $\tilde{C}=C-1$ )

¿O hay otra manera de mostrar que, efectivamente $\int \mathrm{d}x \, e^x=e^x+C$

Answer 1

No hay contradicción ya que para Teorema fundamental del cálculo C es una constante arbitraria, por lo que

$$\int e^x\mathrm{d}x =(e^x-1)+C$$

y

$$\int e^x\mathrm{d}x =e^x$$

son equivalentes.

Answer 2

Sin preocuparse por la constante: $$De^x=e^x$$ Así que: $$D^{-1}De^x=D^{-1}e^x$$ $$e^x=D^{-1}e^x$$ Dónde $D$ es el operador diferencial.

Editar:
El antiderivado de $f$ es: $$\int f=\{g\,|\,g'=f\}$$ Y como ambos $a(x)=e^x$ y $b(x)=e^x-1$ tiene la propiedad de que $a'=b'=\exp$ , por lo que ambos son $\in\int\exp$ .