¿Hacemos trampa en $\int e^x$?

Question

Entonces, esta pregunta parece extraña a primera vista, lo admito.

$f(x)=e^x$ se puede escribir como una serie de la siguiente manera: $f(x)=e^x = \sum \limits_{k=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+...$

Ahora, al diferenciar $f(x)$ obtenemos de nuevo $e^x$, ya que tenemos un número infinito de sumandos y la derivación de cada sumando da como resultado el de su izquierda.

Hasta aquí todo bien.

Ahora, básicamente en todas partes encontramos esto: $\int \mathrm{d}x \, e^x = e^x+C$ donde C es la constante de integración. Ahora aquí es donde creo que estamos un poco engañados. Al integrar cada sumando de $f(x)$ encontramos que cada sumando se convierte en el de su derecha. Pero no hay ninguno a la izquierda de $1$. ¿Realmente hacemos esto?:

$\int \mathrm{d}x \, e^x = e^x -1 + C = e^x + \tilde{C}$ ? (con $\tilde{C}=C-1)

¿O hay otra forma de mostrar que de hecho $\int \mathrm{d}x \, e^x=e^x+C$?

Answer 1

No hay contradicción ya que para Teorema Fundamental del Cálculo C es una constante arbitraria por lo tanto

$$\int e^x\mathrm{d}x =(e^x-1)+C$$

y

$$\int e^x\mathrm{d}x =e^x$$

son equivalentes.

Answer 2

Sin importar la constante: $$De^x=e^x$$ Entonces: $$D^{-1}De^x=D^{-1}e^x$$ $$e^x=D^{-1}e^x$$ Donde $D$ es el operador diferencial.

Editar:
La antiderivada de $f$ es: $$\int f=\{g\,|\,g'=f\}$$ Y dado que tanto $a(x)=e^x$ como $b(x)=e^x-1$ tienen la propiedad de que $a'=b'=\exp$, ambos están en $\int\exp$.