Círculo circunscrito de un triángulo isósceles

Question

Dejemos que $o$ sea el círculo circunscrito a un triángulo isósceles $ABC$ con $|AB|=|AC|$ . Dejemos que $D$ sea un punto del lado $BC$ y que $E$ sea el segundo punto de intersección de la línea $AD$ con $o$ . Tengo que demostrar que $|AB|^2 = |AE||AD|$

¿Alguna pista?

Gracias

Answer 1

Los dos triángulos $ADH$ y $AFE$ son similares, por lo que $$\frac{AD}{AF}=\frac{AH}{AE},$$

o, igualmente: $AD\cdot AE = AH\cdot AF$ .

Ahora, aplicando el primer teorema de Euclides al triángulo $ABF$ puedes escribir:

$$AH\cdot AF = AB^2,$$

y, combinando las dos ecuaciones

$$AD\cdot AE = AH\cdot AF= AB^2.$$

Mejor solución:

Los dos triángulos $ABD$ y $ABE$ son similares, por lo que

$$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB},$$

entonces $AB^2 = AE\cdot AD$ .