Problema con la búsqueda de la distribución de $Z\sim X+Y$ a través del CDF

Question

Dejemos que $X,Y\sim\text{Exp}(\lambda)$ sean independientes. Si queremos encontrar el pdf $f_Z(z)$ de $Z = X+Y$ podríamos intentar calcularla empezando por la fdc:

$$\begin{align*} F_Z(z) &= \Pr[Z \leq z] \\ & = \Pr[X + Y \leq z] \\ & \color{red}{=} \Pr[X + y \leq z, Y = y] \\ & = \Pr[X \leq y-z\mid Y = y]\Pr[Y = y] \\ & = \Pr[X \leq y-z]\Pr[Y = y],\quad \text{Independence} \\ & = F_X(y-z)F_Y(y) \end{align*}$$ Esto es claramente erróneo (¿por qué la respuesta dependería de $y$ ¿en absoluto? ¿Qué es $y$ incluso?). Estoy bastante seguro de que el problema está en $\color{red}{=}$ .

Sé cómo obtener la solución correcta si en su lugar escribimos la definición de $\Pr[X + Y \leq z]$ : $$\begin{align*} \Pr[X + Y \leq z] & = \iint_{(x,y):x+y\leq z}p_{(X,Y)}(x,y)d xd y \end{align*}$$ ¿Hay alguna forma de resolver esto más parecida a la solución (incorrecta) que di? En concreto, una técnica que no lo hace implican ampliar $\Pr[X+Y \leq w]$ en una integral doble.

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Un ejemplo explícito del tipo de prueba que me gustaría ver se puede dar para el siguiente problema:

Dejemos que $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ . Encuentra el pdf de $X = Z^2$ .

La prueba aquí se puede escribir como: $$\begin{align*} F_X(x) &= \Pr[X\leq x] \\ & = \Pr[Z^2\leq x] \\ & = \Pr[ -\sqrt{x}\leq Z\leq \sqrt{x}] \\ & = F_Z(\sqrt{x}) - F_Z(-\sqrt{x}) \end{align*}$$ A partir de aquí, podemos tomar derivadas para encontrar $f_X(x)$ .

Answer 1

Continuando con mis comentarios anteriores... $$\begin{align} 1 - F_Z(z) &= P(X+Y > z) \\ &= \int_0^\infty P(X+y > z) p_Y(y) \, dy \\ &= \int_0^z e^{-\lambda (z-y)} \lambda e^{-\lambda y} \, dy + \int_z^\infty \lambda e^{-\lambda y} \, dy \\ &= \lambda z e^{-\lambda z} + e^{-\lambda z}, \end{align}$$ Así que, $$p_Z(z)= F_Z'(z) = e^{-\lambda z} (\lambda (\lambda z + 1) - \lambda) = \lambda^2 z e^{-\lambda z}.$$