Movimiento del ciclotrón para una velocidad arbitraria y un campo magnético constante

Question

Entiendo los ejemplos clásicos de tomar el campo magnético a lo largo de la dirección de un determinado eje, y luego analizar el movimiento de una partícula cargada. Esto da un movimiento helicoidal (para una velocidad general $\vec{v}$ ). Sin embargo, mi pregunta es cómo resolver el movimiento $\vec{r}(t)$ en el caso de que tengamos el campo magnético apuntando en una dirección arbitraria, y dada una velocidad inicial.

Mi primer instinto fue girar todo el sistema de coordenadas para alinear el campo magnético con, por ejemplo, el $z$ -eje. Sin embargo, siento que debería haber una manera más fácil de tratar con esto. Tengo la velocidad inicial descompuesta como $\vec{v}_i = \vec{v}_{parallel} \,\, + \vec{v}_{perpendicular} \,\,\,$ lo que significa que la parte paralela no cambiará con el tiempo. Sin embargo, no estoy seguro de cómo debo encontrar la solución completa para la velocidad perpendicular, lo que me permitirá encontrar la trayectoria. Tengo cantidades como la frecuencia angular, el cabeceo y el ángulo de cabeceo, pero no estoy seguro de si debo intentar la rotación completa de los sistemas de coordenadas.

Answer 1

No creo que necesites rotar el sistema de coordenadas para alinearlo con el vector del campo magnético, porque no sé cómo vas a traducir las coordenadas en este sistema de vuelta al sistema original..
En primer lugar, como has dicho puedes descomponer el vector velocidad tal y como has dicho, donde v _{en paralelo} \= ((v-B)/||B||)* (B cap) y v _perp \= v -v _{en paralelo} . Para resolver la velocidad perpendicular de la partícula en cualquier momento, hay que tener en cuenta que su magnitud se mantiene constante con el tiempo (ya que la fuerza magnética es siempre perpendicular a esta componente de la velocidad) por lo que lo único que está ocurriendo es que el vector velocidad simplemente está girando un cierto ángulo θ en algún momento sobre el vector B, este ángulo resulta ser el mismo que subtiende la partícula en su movimiento circular es decir $ωt$ . El nuevo vector de velocidad perpendicular girado viene dado por v _perp \= ||v _perp |*(x1*v _perp + x2*p) Donde, x1= cos(θ)/||v _perp || & x2=sin(θ)/|p|| son constantes & p=Bxv _perp es un vector (B es el vector del campo magnético). (He encontrado este método de rotación aquí : https://math.stackexchange.com/questions/511370/how-to-rotate-one-vector-about-another - 1ª respuesta). Una vez que se tiene esto, es fácil obtener todo lo demás. El vector velocidad en el tiempo t es v = v _{en paralelo} + v _perp por lo que el vector de posición en cualquier momento será r = r _inicial + (v t), ya que este movimiento no está acelerado. También para encontrar la frecuencia angular $ω$ (que necesitas- para encontrar θ) necesitas el tiempo que tarda en completar una vuelta completa en su movimiento helicoidal T , que puedes calcular considerando simplemente el movimiento circular de la partícula - en cuyo caso T= (2πr)/(v _perp ). También el radio de esta trayectoria circular r viene dado por r = (m ||v _perp ||)/(q*||B||), que se obtiene del hecho de que la fuerza magnética proporciona la fuerza centrípeta en este movimiento. Siento no haber usado la notación vectorial en ningún sitio, pero no he podido encontrar cómo hacerlo..