Cierre del tramo de bases ortonormales sobre espacios de Hilbert

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert y $\{e_j\}_{j \in \Gamma} \subset H$ sea un sistema ortonormal. Entonces $\{e_j\}_{j \in \Gamma}$ se llama base ortonormal de $H$ si

$\overline{\operatorname{span}\{e_j\: | \: j \in \Gamma \}} = H$ .

Además, tenemos $\{e_j \: | \: j \in \Gamma \}^\perp = \overline{\operatorname{span}\{e_j\: | \: j \in \Gamma \}}^\perp$

Me cuesta mucho entender qué es lo que falla si no tenemos en cuenta el cierre en estas dos declaraciones. ¿Hay algún contraejemplo para esto? Agradezco cualquier ayuda.

Answer 1

Esa es una muy buena pregunta que hay que hacerse. En primer lugar, por definición sólo se permiten combinaciones lineales finitas, esa es la razón principal por la que se necesita ese cierre. Para más información sobre este tema, consulte esta pregunta .

Ahora podemos analizar su pregunta. ¿Puedes encontrar un vector para el que una combinación lineal finita de vectores base nunca te dé el vector que buscas?

Pista: Mira el espacio $l^2$ el espacio de las secuencias $(z_n)_n$ para lo cual $\sum_n |z_n|^2 < \infty$ Obsérvese que la "base estándar" del álgebra lineal, se generaliza a este espacio, y obsérvese que la secuencia $(\frac{1}{n})_n$ vive en su interior. ¿Puedes escribirlo como una combinación lineal finita?