Cómo factorizar $x^5-1$ para códigos binarios

Question

Actualmente, tengo que hacer eso:

$$x^5-1 = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$$

Entonces pensé que podría hacerlo:

$$x^5-1 = (x-1)(x(x+1)(x^2+1)+1)$$

Sin embargo, quiero utilizar la factorización para encontrar todos los códigos cíclicos en $[5, k]$ . Para ello, necesito encontrar todos los factores irreducibles de $x^5-1$ . No estoy viendo si realmente puedo reducir $x^4+x^3+x^2+x+1$ cualquier otra

Answer 1

En GF(2)$=\Bbb F_2$ tenemos $1=-1$ y $2=0$ . La factorización (utilizando factores primos en $\Bbb F_2[x]$ ) del polinomio dado ya es $$x^5+1 =(x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)\ .$$ Para ver que $f=(x^4+x^3+x^2+x+1)$ es irreducible (= primo en $\Bbb F_2[x]$ ), basta con comprobar que no hay ningún factor de grado uno o dos. Los factores irreducibles de grado uno y dos son $x$ , $(x+1)$ y $(x^2+x+1)$ . Los factores de grado uno se excluyen fácilmente. (Ya que $f(0)=f(1)=1$ .) Y el resto, por división con el resto de $f$ por $(x^2+x+1)$ es $x+1$ por lo que también se excluye el factor de grado dos.

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Un sistema de álgebra computacional es útil en estos casos, por ejemplo sage entrega la factorización:

sage: R.<x> = PolynomialRing(GF(2))
sage: factor(x^5+1)
(x + 1) * (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)

sage: # note that x^2 + 1 is reducible... 
sage: factor(x^2+1)
(x + 1)^2