Encuentre UMVUE de $p^3$

Question

Dejemos que $X_1, X_2, ..., X_n$ sea una muestra aleatoria de $Binom(1, p)$ . Estoy tratando de encontrar el UMVUE de $p^3$ .

Algunas reflexiones:

1. Aparentemente, $\bar{X}^3$ no es la respuesta, aunque es el MLE de $p^3$ .
2. Para los distintos $i$ , $j$ y $k$ La distribución de $X_iX_jX_k$ es $Binom(1, p^3)$ Pero, ¿y si $n$ no es divisible por tres?

Answer 1

En realidad, este problema es un ejemplo clásico de la Teorema de Lehmann-Scheffé . El teorema dice

Si una estadística que es insesgada, completa y suficiente para algún parámetro $\theta$ entonces es el UMVUE para $\theta$ .

Aquí $\theta$ es $p^3$ y $T = \sum_{i=1}^n X_i$ es una estadística suficiente y completa para $p^3$ por lo que simplemente necesitamos construir un estimador insesgado de $p^3$ con $T$ . En otras palabras, tenemos que encontrar $\phi$ tal que $E(\phi(T)) = p^3$ . Por ejemplo, se puede comprobar fácilmente

$$ \phi(T) = \frac{T(T-1)(T-2)}{n(n-1)(n-2)} $$

Y ese es el UMVUE de $p^3$ .