Ningún mapa continuo inyectivo $f: \mathbb{S}^1 \to \mathbb{R}$

Question

Un amigo me preguntó si podía existir un mapa continuo inyectivo

$$f: \mathbb{S}^1 \to \mathbb{R}.$$

Mi intuición me dice que no. Dotar $\mathbb{S}^1$ con una topología $\mathscr{T}$ y fijar un poste $x \in \mathbb{S}^1$ Considera que $f(x)$ y tomar $B_\epsilon (f(x))$ . Desde $f$ es continua, $f^{-1}(B_\epsilon (f(x)))$ está abierto así que toma $N(x) \in \mathcal{N}(x)$ para que $N(x) \subset f^{-1}(B_\epsilon (f(x)))$ .

Ahora no sé suficiente topología para formalizar mi intuición. A saber, si $x_1$ está cerca en un "lado" de $x$ y $x_2$ está cerca en el otro lado, entonces $f(x_1)$ es como máximo $\epsilon$ lejos de $f(x)$ e igualmente con $f(x_2)$ . Así que, o bien $f$ es constante o $f(x_2)$ se acerca a $f(x)$ como $x_2 \to x$ , por lo que claramente debe haber un punto que no sea inyectivo.

Entonces, ¿cómo expreso esto formalmente como una prueba topológica?

Answer 1

Una pista:

No hay que juguetear con $\epsilon$ ¡aquí! Quieres establecer un hecho global determinado; por lo tanto, tienes que traer herramientas globales apropiadas, como el MVT, el hecho de que $S^1$ es compacto, etc.

Solución completa, vía peatonal:

Desde $S^1$ es compacta la función $f$ asume un mínimo $a$ en un punto $z_a\in S^1$ y un máximo de $b>a$ en un punto $z_b\in S^1$ . Estos dos puntos se dividen $S^1$ en dos arcos $\gamma_1$ , $\gamma_2$ . En cada uno de los dos arcos la función $f$ tiene que asumir el valor $m:={a+b\over2}$ en alguna parte, lo que contradice la inyectividad.

Answer 2

Nótese que una biyección continua de un conjunto compacto a un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo. Si tal mapa $f$ existe, entonces $S^1$ es homeomorfo a su imagen, que es compacta y conectada en $\mathbb{R}^1$ . Pero entonces esta imagen es un intervalo cerrado acotado, cuya frontera es no vacía mientras que la frontera de $S^1$ es vacío, una contradicción.

Answer 3

Demostramos que hay un par de puntos antipodales $p$ y $-p$ tal que $f(p)=f(-p)$ . Supongamos que tal par no existe. Defina $g(p):=f(p)-f(-p)$ . Entonces $g$ no tiene ceros y es continua. Como $g(-p)=-g(p)$ concluimos que $g$ toma valores positivos y negativos, pero $S^1$ está conectado.