La respuesta en general es no, porque hay contraejemplos sencillos basados en el teorema de Gauss-Bonnet. Por otro lado, existe una condición suficiente de naturaleza combinatoria fácil de comprobar, basada en la teoría de las vías de tren de W. Thurston.
También podríamos suponer que $\gamma_1,\gamma_2$ tienen un número mínimo de intersección geométrica, porque esa condición es necesaria y suficiente para la existencia de una isotopía ambiental que tome $\gamma_1 \cup \gamma_2$ a $\tilde\gamma_1 \cup \tilde\gamma_2$ sin importar la estructura hiperbólica.
Primero el contraejemplo. Para cada región complementaria $S$ de $\gamma_1 \cup \gamma_2$ ---que significa un componente de $F-(\gamma_1 \cup \gamma_2)$ ---al tomar la terminación que podemos considerar $S$ como el interior de una superficie $\overline S$ con límite suave a trozos $\partial\overline S$ las piezas lisas que se alternan entre los segmentos de $\gamma_1$ y $\gamma_2$ . La orientación en cada pieza lisa obtenida al restringir la $\gamma_1$ o $\gamma_2$ orientación puede coincidir o no con la orientación de los límites en $\partial \overline S$ . El punto de decir "finalización" en lugar de simplemente "cierre" es que $S$ puede tocarse desde ambos lados de alguna pieza lisa, o desde ángulos opuestos en algún punto de intersección.
El contraejemplo se elige de manera que para algunos $S$ su finalización $\overline S$ es un disco de 4 lados, y las orientaciones restringidas en $\partial\overline S$ todos están de acuerdo con la orientación de los límites. No es difícil, con algunos bocetos rápidos, construir $\gamma_1,\gamma_2$ teniendo tal región complementaria $S$ . Asumiendo que $\gamma_1,\gamma_2$ son geodésicas, la superficie $\overline S$ puede considerarse, por tanto, como un cuadrilátero finito en $\mathbb{H}^2$ . Suponiendo que existiera una métrica hiperbólica con $\gamma_1,\gamma_2$ geodésico y con ángulos agudos $<\frac{\pi}{2}$ como se ha dicho, a medida que uno va dando vueltas $\partial \overline S$ vemos cuatro ángulos exteriores cada uno $<\frac{\pi}{2}$ cuya suma es $<2\pi$ . Sin embargo, por el teorema de Gauss-Bonnet la suma de los ángulos exteriores de un $\mathbb{H}^2$ polígono es igual a $2\pi$ más el área, por lo que esa suma es $>2 \pi$ .
A continuación, la condición suficiente, que tiene dos cláusulas.
En primer lugar, formar una "pista de pretren" $\tau$ de $\gamma_1 \cup \gamma_2$ mediante el alisado $\gamma_1 \cup \gamma_2$ en cada punto de intersección $p_i \in \gamma_1 \cap \gamma_2$ para que $\gamma_1,\gamma_2$ son tangentes a $p_i$ e inducen la misma orientación en su línea tangente común en $p_i$ . El efecto combinatorio intuitivo de este alisado es que los ángulos que se quieren "agudos" se llevan a un límite de un ángulo cero, y sus ángulos "obtusos" suplementarios se llevan a un límite de un ángulo recto.
La primera cláusula de la condición suficiente es que $\tau$ es una verdadera "vía de tren". Por definición, esto significa que para cada región complementaria $S$ la cantidad $$i(S) = \chi(S)\, -\, \frac{1}{2} \, \# \text{(nonsmooth boundary points of $ S $)} $$ es negativo. Esta primera cláusula descarta el contraejemplo anterior, porque en ese contraejemplo el alisado tiene el efecto de que el disco $S$ no tiene puntos de frontera no lisos y por lo tanto $i(S)=\chi(S)=1$ que es positivo.
A continuación hay un teorema que se puede encontrar en el libro de Harer y Penner, que aprendieron de Nat Kuhn, y que se remonta a las primeras conferencias de Thurston sobre vías de tren y estructuras hiperbólicas. El teorema dice que las siguientes propiedades de $\tau$ son equivalentes:
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Para cada $\epsilon>0$ y $L>0$ existe una estructura hiperbólica en la superficie en la que cada rama de $\tau$ es un arco geodésico de longitud $\ge L$ y en cada punto $p_i \in \gamma_1 \cup \gamma_2$ el ángulo que forma la trayectoria de un tren de $\tau$ a través de $p_i$ difiere de un ángulo recto en $\le \epsilon$ .
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La vía del tren $\tau$ es transversalmente recurrente.
El punto 1 implica lo que quieres, de hecho es bastante más fuerte porque garantiza que los ángulos agudos en los puntos $p_i$ puede hacerse lo más pequeño posible. El punto 2 es una condición combinatoria que se puede comprobar fácilmente en la práctica.
Así que la segunda cláusula de la condición suficiente es que $\tau$ es transversalmente recurrente.
