Número curioso problema de la teoría

Question

$k,m,n\in\mathbb{N}$ $k^{m+n}=nm^n$ a satisfacer. Cómo puedo mostrar que $m=k$ y $n=k^k\,?$

Answer 1

Dejó así $g=\gcd(n,m)$, que $n=gn_1$ y $m=gm_1$ $\gcd(n_1,m_1)=1$. Entonces\begin{equation} k^{m+n} = g^{m+1}n_1m_1^n. \end{equation} allí son dos casos. En primer lugar, asumir $\gcd(g,n_1)=1$, que $n_1=n_2^{m+n}$. Escriba $k=n_2k_1$. \begin{align} (n_2k_1)^{m+n} &= g^{m+1}n_2^{m+n}m_1^n \\ k_1^{m+n} &= g^{m+1}m_1^n. \end {Alinee el} si $\gcd(g,m_1)=1$, entonces $m+1=m+n$y $n=m+n$, que $(m,n)=(0,1)$, contradicción $m \in \mathbb{N}$. Por lo tanto, $h=\gcd(g,m_1)>1$, que $g=hg_1$ y $m_1=hm_2$.

¿Le da lo suficiente para ir a?