Momento central de la distribución Beta

Question

Estoy estudiando la nota "On the sub-Gaussianity of the Beta and Dirichlet distributions" escrita por Olivier Marchal y Julyan Arbel(2017) que está disponible aquí .

En la página 5, dice $$E\Bigg[\Big(X-\frac{1}{2}\Big)^{2j}\Bigg]=\frac{(2j)!}{2^{2j}j!}\frac{\Gamma(2\alpha)\Gamma(\alpha+j)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(2(\alpha+j))}=\frac{(2j)!}{2^{2j}j!}\frac{(\alpha)_j}{(2\alpha)_{2j}}$$ donde $X \sim Beta(\alpha, \alpha)$ y $(\alpha)_j=\alpha(\alpha+1)...(\alpha+j-1)=\frac{\Gamma(\alpha+j)}{\Gamma(\alpha)}$ .

Puede alguien decirme qué álgebra puede hacer la expectativa como RHS.

Answer 1

La Beta $(\alpha,\alpha)$ densidad, definida en el intervalo $[0,1],$ es

$$f_\alpha(t) = \frac{1}{B(\alpha,\alpha)}\, t^{\alpha-1}(1-t)^{\alpha-1}$$

donde la constante de normalización es la función Beta, que se sabe que es igual a

$$B(\alpha,\alpha) = \int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\alpha-1}\,\mathrm{d}t = \frac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\alpha)}{\Gamma(2\alpha)}.\tag{*}$$

La sustitución $t = (1+\sin\theta)/2$ es un mapeo uno a uno desde $[-\pi/2,\pi/2]$ a $[0,1]$ que reexpresa la expectativa como

$$\begin{aligned} E_{f_\alpha}\left[\left(X-\frac{1}{2}\right)^{2j}\right] &= \int_0^1 \left(t-\frac{1}{2}\right)^{2j}\,f_\alpha(t)\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{2^{2j+2\alpha-1}B(\alpha,\alpha)}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^{2\alpha-1}(\theta)\,\sin^{2j}(\theta)\,\mathrm{d}\theta\\ &= \frac{B\left(j+\frac{1}{2},\alpha\right)}{2^{2j+2\alpha-1}B(\alpha,\alpha)}. \end{aligned}$$

(La integral trigonométrica es bien conocida; véase, por ejemplo, Whittaker & Watson 12.42 .)

Utilice la fórmula $(*)$ y la recurrencia Gamma

$$\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$$

para reexpresar esto en la forma dada en la pregunta.

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Referencia

E. T. Whittaker y G. N. Watson, Un curso de análisis moderno. Cuarta edición (1927).