La Beta $(\alpha,\alpha)$ densidad, definida en el intervalo $[0,1],$ es
$$f_\alpha(t) = \frac{1}{B(\alpha,\alpha)}\, t^{\alpha-1}(1-t)^{\alpha-1}$$
donde la constante de normalización es la función Beta, que se sabe que es igual a
$$B(\alpha,\alpha) = \int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\alpha-1}\,\mathrm{d}t = \frac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\alpha)}{\Gamma(2\alpha)}.\tag{*}$$
La sustitución $t = (1+\sin\theta)/2$ es un mapeo uno a uno desde $[-\pi/2,\pi/2]$ a $[0,1]$ que reexpresa la expectativa como
$$\begin{aligned} E_{f_\alpha}\left[\left(X-\frac{1}{2}\right)^{2j}\right] &= \int_0^1 \left(t-\frac{1}{2}\right)^{2j}\,f_\alpha(t)\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{2^{2j+2\alpha-1}B(\alpha,\alpha)}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^{2\alpha-1}(\theta)\,\sin^{2j}(\theta)\,\mathrm{d}\theta\\ &= \frac{B\left(j+\frac{1}{2},\alpha\right)}{2^{2j+2\alpha-1}B(\alpha,\alpha)}. \end{aligned}$$
(La integral trigonométrica es bien conocida; véase, por ejemplo, Whittaker & Watson 12.42 .)
Utilice la fórmula $(*)$ y la recurrencia Gamma
$$\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$$
para reexpresar esto en la forma dada en la pregunta.
Referencia
E. T. Whittaker y G. N. Watson, Un curso de análisis moderno. Cuarta edición (1927).
