Me han preguntado lo siguiente.
Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial $\vec{a}=\vec{r}\times\hat{k}$ , donde $\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ y $\lbrace\hat{i},\hat{j},\hat{k}\rbrace$ es la base estándar para $\mathbb{R}^3$ , dado el hemisferio $C$ de radio $c$ centrado en $(0,0,0)$ en la región de la mitad superior de $\mathbb{R}^3$ (es decir, $z\geq0$ ).
Mi intento es el siguiente. En primer lugar, hay que tener en cuenta que $\vec{a}=y\hat{i}-x\hat{j}+0\hat{k}$ . Obsérvese también que, debido al enunciado del teorema de Stokes, podemos estar interesados inmediatamente en obtener una expresión para el rizo de $\vec{a}$ que viene dado por $\vec{\nabla}\times\vec{a}=0\hat{i}+0\hat{j}-2\hat{k}$ . A partir de aquí, observe que la formulación de la pregunta sugiere que $C$ es la superficie de recubrimiento que vamos a utilizar. Por ello, hay que tener en cuenta que podemos tomar el contorno circular de radio $c$ centrado en $(0,0,0)$ en el plano $z=0$ orientado en sentido contrario a las agujas del reloj como el límite de $C$ que, por supuesto, denotaremos $\partial C$ . Obsérvese que a partir de aquí $\gamma(t)=c\cos(t)\hat{i}+c\sin(t)\hat{j}+0\hat{k}$ , para $0\leq t\leq 2\pi$ , parametriza $\partial C$ . Por esta razón, considere $$ \oint_{\partial C}\vec{a}\cdot d\vec{r}=\int_0^{2\pi}\vec{a}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)~dt $$ $$ =\int_0^{2\pi}(c\sin(t)\hat{i}-c\cos(t)\hat{j}+0\hat{k})\cdot(-c\sin(t)\hat{i}+c\cos(t)\hat{j}+0\hat{k})~dt $$ $$ =-c^2\int_0^{2\pi}~dt=-2c^2\pi $$ Y por lo tanto, por el teorema de Stokes, esta cantidad debería ser igual a $$ I=\iint_C\mathrm{curl}(\vec{a})\cdot\hat{n}_C~dS $$ Dónde $\hat{n}_C$ denota la normal unitaria a la superficie de $C$ (posiblemente en función de $x$ , $y$ y $z$ , dado $(x,y,z)\in C$ ). Para garantizar la conservación de la orientación, empleamos la fiel regla de la mano derecha para llegar a la conclusión de que la normal a $C$ viene dada por $\hat{n}_C=\vec{r}/|\vec{r}|$ . Sin embargo, hay que tener en cuenta que en la superficie de $C$ , $|\vec{r}|=c$ y así $\hat{n}_C=\vec{r}/c$ . Por esta razón, tenemos que $$ \mathrm{curl}(\vec{a})\cdot\hat{n}_C=(\vec{\nabla}\times\vec{a})\cdot\hat{n}_C=-\frac{2z}{c} $$ Ya que, en $C$ , $z=\sqrt{c^2-x^2-y^2}$ (omitimos la consideración de la raíz cuadrada negativa de $z^2$ ya que se nos dice que $z\geq0$ ), tenemos que $$ \mathrm{curl}(\vec{a})\cdot\hat{n}_C=-\frac{2}{c}\sqrt{c^2-x^2-y^2} $$ Y, por esta razón, $I$ se convierte en $$ I=-\frac{2}{c}\iint_C\sqrt{c^2-x^2-y^2}~dS $$ Podemos, a partir de aquí, convertir a coordenadas polares para llegar a la conclusión de que $$ I=-\frac{2}{c}\int_0^{2\pi}\int_0^cr\sqrt{c^2-r^2}~dr~d\theta $$ $$ =-\frac{2}{c}\int_0^{2\pi}-\frac{1}{3}\left[(c^2-r^2)^{3/2}\right]_0^c~d\theta $$ $$ =-\frac{2}{c}\int_0^{2\pi}\frac{c^3}{3}~d\theta=-\frac{4}{3}c^2\pi $$ Este resultado, sin embargo, no es obviamente igual a $-2c^2\pi$ , lo que significa que $$ \oint_{\partial C}\vec{a}\cdot d\vec{r}\neq\iint_C\mathrm{curl}(\vec{a})\cdot\hat{n}_C~dS $$ lo que, según mi comprensión del teorema de Stokes, no puede ser el caso. ¿Puede alguien ayudarme a identificar el error que he cometido?
