El grupo fundamental contiene $\mathbb{R}$ o $\mathbb{Q}$

Question

¿Existe algún espacio topológico cuyo grupo fundamental contenga $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$ ? En el caso de la homología o cohomología (singular), podemos cambiar sus coeficientes a cualquier grupo abeliano (con la modificación adecuada, como el teorema del coeficiente universal). Pero para un grupo fundamental, nunca he visto ningún espacio que tenga grupo fundamental $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$ . Creo que es imposible, pero ¿cómo probarlo? Gracias de antemano.

Answer 1

Cualquier grupo (incluyendo $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$ ) puede ser realizado como el grupo fundamental de algún espacio - de hecho, para cada grupo $G$ existe un complejo CW bidimensional con grupo fundamental $G$ . Ver Proposición 1.28 de Hatcher aquí.

Answer 2

Dotación $Q$ con la topología discreta $Q_d$ y considerar el espacio clasificatorio correspondiente a $Q_d$ . La misma construcción con $R$ .