¿Cómo utilizar el valor principal en la definición del propagador?

Question

El propagador de una partícula escalar puede escribirse como

$$ \frac{1}{x + i\epsilon} = {\rm PV}\left( \frac{1}{x} \right) - i\pi\delta(x), \quad x = p^2 - m^2, \tag{1} $$

donde $p, m$ son el momento y la masa de la partícula. Mi pregunta es sobre cómo calcular ${\rm PV}(1/x)$ . Reunir el puesto Integral del valor principal y la información de Wikipedia ( https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_principal_value#Distribution_theory ), se escribe como

$$ {\rm PV}\left( \frac{1}{x} \right) [f] = \lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{\mathbb{R} - [-\epsilon, \epsilon]} dx \frac{x}{x^2 + \epsilon^2}f(x)\tag{2} $$

Pero, ¿qué es esto $f(x)$ : cualquier función que quiera elegir, como por ejemplo $f(x) \equiv 1$ ? ¿Cómo calcularía usted

$$ {\rm PV}\left( \frac{1}{x} \right) ?\tag{3} $$

Si es una distribución que se aplica a las funciones $f(x)$ ¿Cómo usarías PV en un diagrama de Feynman? En otras palabras, digamos que calculas un diagrama de Feynman y terminas con algo como

$$ \frac{1}{x + i\epsilon}f(x)\tag{4} $$

¿Diría usted que

$$ \frac{1}{x + i\epsilon}f(x) = \lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}\int_{\mathbb{R} - [-\epsilon, \epsilon]} dx \frac{x}{x^2 + \epsilon^2}f(x) - i\pi f(0)\ \ \ ?\tag{5} $$

Esto no puede ser cierto porque RHS es $f$ dependiente y $x$ independiente, mientras que LHS es tanto $f$ y $x$ dependiente. ¿Qué estoy perdiendo?

Answer 1

1. Parece que el principal culpable de la pregunta del OP es la notación matemática $u[f]$ donde $u$ es un distribución y $f$ es una función de prueba. No es un producto de $u$ y $f$ .

2. En particular, el LHS de la ecuación de OP. (2) no es sólo un producto de ${\rm PV}\left( \frac{1}{x} \right)$ y $f(x)$ . Para empezar, también implica una integración implícita sobre $x$ .

3. Un posible ejemplo útil es el Distribución delta de Dirac $u=\delta$ . Aquí $$\delta[f]~:=~f(0)~=:~\int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}x~\delta(x)~f(x).$$

4. En cuanto a la definición real del valor principal Parece que ya está suficientemente aclarado en el enlace de Phys.SE Correo electrónico: .