Resolver $3\times 3$ ecuaciones matriciales:

Question

Estoy familiarizado con la búsqueda de la inversa de las matrices, pero me cuesta formular ecuaciones matriciales.

En esta pregunta en particular, se pide encontrar la matriz elemental E donde $E*A = B$ . $A$ se da como matriz

$$\begin{bmatrix}2 & 2 & -1\\1 & 1 & 1\\ -1 & -2 & 0\end{bmatrix}$$

y $B$ se da como matriz $$\begin{bmatrix}2 & 2 & -1\\-1 & -2 & 0\\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}$$

He podido encontrar $A^{-1}$ como

$$\begin{bmatrix}\frac 23 & \frac 23 & 1\\\frac{-1}{3} & \frac{-1}{3} & -1\\\frac{-1}{3}& \frac 23 &0\end{bmatrix}$$ Sin embargo, no estoy seguro de cómo utilizar esto para encontrar la matriz $E$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

No es necesario calcular $A^{-1}$ : Formar la $3 \times 6$ matriz "bloque" $\left[\begin{array}{@{}c|c@{}}A & I_{3}\end{array}\right]$ y realizar una única operación de fila elemental para convertir el bloque de la izquierda de $A$ a $B$ . El "nuevo" bloque de la derecha es la matriz elemental $E$ que buscas.

Answer 2

$I_3=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}$

Por definición, $I$ es la matriz de identidad tal que $I_nM=MI_n=M$ para todos $n\times n$ matrices $M$ .

Así que ya sabes $EA=B$ si multiplicamos $A^{-1}$ a la derecha de ambos lados:

$$EAA^{-1}=BA^{-1}$$

$$EI=E=BA^{-1}$$