¿Que colectores de Fréchet tienen una partición suave de la unidad?

Question

Un clásico teorema es decir que cada liso, finito-dimensional colector tiene un suave partición de la unidad. Mi pregunta es:

1. Que Fréchet colectores tienen un suave partición de la unidad?

2. Cómo es la existencia de suave particiones de la unidad de Fréchet colectores relacionados con paracompactness de la subyacente de la topología?

A partir de algunas observaciones en la literatura, tengo la impresión de que no todos los Fréchet colectores tienen suave particiones de la unidad, pero algunos tienen, por ejemplo, el bucle espacio de $LM$ de un número finito de dimensiones suave colector $M$.

Para $LM$, la prueba parece ser que $LM$ es Lindelöf, por lo tanto paracompact. Esto es cierto para todos la asignación de los espacios de la forma $C^\infty (K,M)$ $K$ compact?

Answer 1

Uno también debe asumir la que M es compacto para LM paracompacto, así como finito dimensional. ¿Una pregunta que debería tener una respuesta un poco más fácil es la siguiente: Qué espacios de Frechet tienen particiones de la unidad?

(Dang, sólo registrado y perdido mi rep de cuando yo era un usuario no registrado. De lo contrario dejaría un comentario)

Answer 2

El uso de la fuente, Lucas.

Específicamente, en los capítulos 14 (Suave Golpe Funciones) a 16 (Suave Particiones de la Unidad y Suave de la Normalidad). Usted puede estar particularmente interesado en:

Teorema 16.10 Si $X$ es Lindelof y $\mathcal{S}$-regular, a continuación, $X$ $\mathcal{S}$- paracompact. En particular, la energía nuclear espacios de Frechet se $C^\infty$-paracompact.

Para el bucle de espacios (y otros asignación de espacios compactos de origen), la más simple argumento para Lindelof/paracompactness, que yo sepa, va como sigue:

1. Incrustar $M$ como submanifold de $\mathbb{R}^n$.
2. Por lo que el bucle espacio de $LM$ incrusta como una submanifold de $L\mathbb{R}^n$.
3. $L\mathbb{R}^n$ es metrisable.
4. Por lo $L M$ es metrisable.
5. Por lo tanto $L M$ es paracompact.

(Paracompactness no es heredable por todos los subconjuntos. Por supuesto, si usted puede incrustar el colector como cerrado en el subespacio, entonces usted puede heredar el paracompactness directamente).

Yo uso este argumento, en mi papel en la Construcción de suave colectores de bucle de espacios para mostrar que la mayoría de los "niza" propiedades provenir del espacio de modelo para el bucle espacio para el "buen" modelo de espacios (lisa, continua, y otros). Ver corolario C en la introducción de la versión publicada.

(Debo señalar que la declaración completa del Teorema 16.10 (que yo no la cita de arriba) no es del todo correcto (al menos en la versión del libro, puede que haya sido corregido en línea) en que la prueba de la demanda por la estricta inductivo secuencias no es completa. Necesitaba un ejemplo de ésto en mi preprint La Suave Estructura de Tramos Suaves Bucles (ver sección 5.4.2) que no estaba cubierta por 16.10 pero afortunadamente pude hackear bits de 16,6 con 16.10 para conseguir que funcione. Esto, sin embargo, está fuera de las atribuciones de esta pregunta, ya que ocupa los espacios más generales de espacios de Frechet.)

En el lado opuesto de la ecuación, se tiene la siguiente después de 16.10:

problema abierto ... Es cada paracompact $\mathcal{S}$-regular el espacio $\mathcal{S}$-paracompact?

Para el caso general no es (en el momento de la publicación) conocida. Pero para los colectores, el caso es un poco mejor:

Ch 27 Si una suave colector (que es suavemente Hausdorff) es Lindelof, y si todos modelado de espacios vectoriales son suavemente regular, entonces es fácilmente paracompact. Si una suave colector es metrisable y suavemente normal, entonces es suavemente paracompact.

Desde los espacios de Banach son espacios de Frechet, cualquier espacio de Banach que no es $C^\infty$-paracompact proporciona un contraejemplo para Frechet espacios así. El comentario después de 14.9 proporciona los ejemplos de $\ell^1$$C([0,1])$.

Así que, poniendo todo junto: nuclear Frechet espacios son buenos, así que Lindelof colectores de modelado en ellos están suavemente paracompact. Suave asignación de espacios (con compacto de origen) son Lindelof colectores con el modelo nuclear de espacios, por lo tanto sin problemas paracompact.

(Recordemos que el suave asignación de espacios sin compacto de origen no están siquiera cerca de ser los colectores. Sé que Konrad sabe de esto, yo simplemente poner esto aquí para que los demás también lo sepan.)