Convergencia de la matriz de potencia $ (I-\nu P)^m \to (I-P), \ for \ m \to \infty, $ con $0 < \nu < 1$

Question

Supongamos que $P$ es un $n \times n$ matriz de proyección con dos valores propios iguales a uno. ¿Es cierto que y cómo puedo demostrar que $$ (I-\nu P)^m \to (I-P), \quad for \ m \to \infty, $$ con $0 < \nu < 1$ .

Mi intento: Deja que $P=ODO^T$ sea una eigendecomposición con $OO^T=I$ y $D=diag(d_1, \dots, d_n)$ donde $d_1=d_2=1$ y $d_k=0 \ (k=3, \dots, n)$ . Entonces $$ (I-\nu P)^m = O(I-\nu D)^mO^T=Odiag((1-\nu d_k)^m)O^T $$ Para $k=1, 2$ , $(1-\nu d_k)^m \to 0$ y para $k=3, \dots, n$ , $(1-\nu d_k)^m = 1$ . Como esos son los valores propios del complemento ortogonal $I-P$ La afirmación es la siguiente.

¿Es correcto mi razonamiento?

Answer 1

Utilizando el hecho de que las matrices de proyección son idempotentes (es decir, $P^2=P$ ) y el teorema del binomio, $$ \left(I-vP\right)^{m}=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}\left(-vP\right)^{k}=I+P\sum_{k=1}^{m}\binom{m}{k}\left(-v\right)^{k}=I-P+P\left(1-v\right)^{m}\rightarrow I-P. $$