Dejemos que $n ∈ ℤ⁺$ con $n > 1$ . Prueba: Si $a ≡ 1$ (mod $n²$ ), entonces $a^n ≡ 1$ (mod $n³$ )

Question

No sé por dónde empezar ni cómo demostrarlo en absoluto. ¿Puede alguien explicarme el proceso de lo que hay que hacer?

Answer 1

Desde $a\equiv 1\pmod{n^2}$ entonces $a=kn^2+1$ para algún número entero $k$ . Por el teorema del binomio,

$$ (kn^2+1)^n=k^nn^{2n}+\cdots+n(kn^2)+1=k^nn^{2n}+\cdots+kn^3+1$$

Donde cada término, excepto el último, es divisible por $n^3$ . La conclusión es ahora clara.