matriz simétrica y valores propios

Question

Consideremos A como una matriz simétrica positiva definida de nxn. Supongamos que hay $L, L^T$ tal que:

$$A'=L A L^T$$

La ley de inercia de Sylvester dice que A' tiene los mismos valores propios positivos.

¿Cómo puedo concluir que A' también es definida positiva y simétrica?

Answer 1

Bueno, primero debemos asumir que $L$ es no singular, de lo contrario no funcionará. Tomando $(LAL^T)^T$ obtenemos de nuevo $LAL^T$ .

Supongamos ahora que tenemos un vector no nulo $x$ . Entonces $x^T(LAL^T)x = (x^TL)A(L^Tx)$ y como $A$ es positiva definida, sabemos que será mayor que $0$ y así $A'$ también es positiva definida.

Answer 2

Todas las matrices implicadas serán $n \times n.$ Primero, $$A'^T=(LAL^T)^T$$ $$=(L^T)^TA^TL^T$$ $$=LAL^T$$ $$=A'$$ así que $A'$ es simétrica. [Tu pregunta es sobre los valores propios. Antes de responder a eso, vamos a ver algunas cuestiones con la ley de Sylvester.]En segundo lugar, la ley de inercia de Sylvester es sobre la diagonalización por congruencia, $i.e.$ dada una matriz simétrica $M$ sobre los reales, siempre es posible encontrar una matriz real invertible $P$ tal que $P^TAP=D$ donde $D$ es diagonal. Decimos que hemos diagonalizado la matriz $M$ por congruencia. Las matrices $P$ y $D$ no es en absoluto único. La ley de inercia de Sylvester dice que no importa qué $P$ y $D$ el número de términos positivos, negativos y 0 en la diagonal será constante. En particular, si todos los términos de la diagonal son positivos en una diagonalización por congruencia, entonces todos serán positivos en cada diagonalización por congruencia. En tercer lugar, la definición de una matriz $M$ siendo positiva-definida [También podemos suponer que $M$ es simétrico] es que $v^TMv>0$ para cada vector-columna no nulo $v.$ Cuarto, para toda matriz simétrica real $M$ existe una matriz ortogonal $B$ tal que $$B^TMB=E$$ donde $E$ es diagonal. Como una matriz ortogonal es invertible, la diagonalización ortogonal es un caso especial de la digonalización por congruencia. Sin embargo, los cálculos son mucho más difíciles. En el caso de la digonalización ortogonal de una matriz simétrica real $M$ los elementos de la diagonal son los valores propios de $M.$ Por lo tanto, las siguientes condiciones son equivalentes para una matriz simétrica real $M$ (i) en alguna diagonalización por congruencia, todos los elementos diagonales son positivos. (ii) en toda diagonalización por congruencia, todos los elementos de la diagonal son positivos. (iii) la matriz $M$ es positivo-definido. (iv) todos los valores propios son positivos. Volviendo a su notación $$A'=LAL^T.$$ Desde $A$ es positiva-definida, existe una matriz invertible $P$ tal que $P^TAP=D$ donde $D$ es diagonal y cada elemento de la diagonal es positivo. Entonces $$A=L^{-1}A'(L^{-1})^T$$ y por lo tanto $$((L^{-1})^TP)^TA'((L^{-1})^TP)=D,$$ así que $A$ es positivo-definido.