Cómo probar esto $f(n)=a_{n}$ para cualquier $n\in Z^{+}$ entonces $k$ son enteros positivos

Question

dejar que la secuencia $\{a_{n}\}$ ,tal $$a_{n}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^k=1+2^k+3^k+\cdots+n^k$$ donde $k$ son números reales,

mostrar eso:

existe un polinomio exsit $f(x)$ , tal para cualquier $n\in Z^{+}$ siempre han $f(n)=a_{n}\Longleftrightarrow k\in Z^{+}$

mi intento: si $k$ es un número entero positivo, entonces $$a_{n}=1+2^k+3^k+\cdots+n^k$$ es un número entero positivo, y es un polinomio de grado $n$ Así que dejemos que $$f(x)=x^k+(x-1)^k+\cdots+2^k+1^k$$

Pero si por cualquier $n\in Z^{+}$ Entonces, el polinomio $f(x)$ tienen $f(n)=1^k+2^k+\cdots+n^k$

Cómo probar $k$ es de números enteros positivos?

¡Muchas gracias!

¡por favor @ Ivan Loh y así sucesivamente help.because creo que esto es interesing problema!

Answer 1

Supongamos que $k\neq -1$ . Tenga en cuenta que $\frac{a_n}{n^{k+1}}$ es una suma de Riemann asociada a $g(t)=t^k$ para $t\in [0,1]$ (gracias a Daniel Fischer por señalar esto). Así que converge a $\int_{0}^1 g(t)dt=\frac{1}{k+1}$ .

Así que tenemos $a_n \sim \frac{n^{k+1}}{k+1}$ cuando $n\to\infty$ . Si $a_n$ es polinómico en $n$ Esto implica que $k+1$ es un número entero no negativo, y hemos terminado.

Por último, si $k=-1$ tenemos la serie armónica que es bien conocida por ser asintóticamente equivalente a ${\sf log}(n)$ que aumenta más lentamente que cualquier polinomio.