función de clase C ^ 1 en las variedades

Question

Dejemos que $M$ sea una variedad diferenciable de dimensión finita $m$ .

Dejemos que $f:M\rightarrow M$ en función de la clase $C^1$ . Tengo una duda sobre lo que implica (1) o (2):

1. $x \in M \rightarrow D_xf \in \mathcal{L}(T_xM, T_{f(x)}M)$ es continua

2. $Df:TM \rightarrow TM$ es continua

Nótese que (1) es la extensión natural de $f:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^m$ pero el conjunto de llegada no estaría bien definido (varía con $x$ ). Por otro lado, (2) no implica (en mi opinión) que $M \rightarrow D_xf$ es continua.

Agradecería cualquier sugerencia sobre la forma correcta de interpretar este concepto

Answer 1

En general, dadas las variedades lisas $M$ y $N$ y un mapa $f: M\to N$ . $f$ se llama un mapa de la clase $C^k$ si para todo $x\in M$ Hay gráficos suaves $(U , \phi)$ de $M$ , $(V, \psi)$ de $N$ para que $x\in U$ y $f(U) \subset V$ y la composición

$$F= \psi \circ f \circ \phi^{-1} : \phi(U) \to \psi(V)$$

es $C^k$ en el sentido habitual (entre conjuntos abiertos en el espacio euclidiano). Así, si $f$ es $C^k$ para $k\geq 1$ entonces también lo es $F$ y por lo tanto $dF$ es de la clase $C^{k-1}$ lo que significa que todas las entradas de $dF$ son funciones de la clase $C^{k-1}$ .

Primero mostramos lo siguiente (que relaciona la clase de $f$ con la de $Df$ )

Reclamación 1 : Dejemos que $f: M \to N$ ser un $C^1$ -mapa. Entonces $f$ es de la clase $C^k$ , $k\geq 1$ si y sólo si $Df: TM \to TN$ es de la clase $C^{k-1}$ .

Prueba de la afirmación 1: Obsérvese que si $(U, \phi)$ son gráfico en $M$ entonces se pueden definir los gráficos $(TU , \tilde \phi)$ en $TU \subset TM$ dado por

$$\tilde \phi [\gamma ] = (x, (\phi \circ \gamma)'(0)) \subset \phi(U) \times \mathbb R^m$$

para todos $[\gamma] \in T_xM$ .

El mapa $Df: TM \to TN$ se define por $[\gamma] \mapsto [f\circ \gamma]$ . Así, en el gráfico $(TU, \tilde \phi)$ y $(TV, \tilde \psi)$ ,

$$(\tilde \psi \circ Df \circ \tilde \phi^{-1} )(p, v) = (\tilde \psi \circ Df) [\gamma],$$

donde $[\gamma]\in T_xM$ tal que $\tilde \phi [\gamma] = (p, v)$ (así $\phi(x) = p)$ . Por ejemplo, tomamos $\gamma(t) = \phi^{-1}(p+ tv)$ . Entonces

$$(\tilde \psi \circ Df) [\gamma] = \tilde \psi [f\circ \gamma] = (F(x), (\psi \circ f\circ \gamma)'(0))$$

Como hemos

$$(\psi \circ f\circ \gamma)'(0) = \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} \psi \circ f \circ \phi^{-1} (x + tv) = \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} F(p+ tv) = dF_p (v)$$

por la regla de la cadena habitual en el último paso. Así que

$$(\tilde \psi \circ Df \circ \tilde \phi^{-1} )(p, v) = (F(p) , dF_p(v)).$$

Eso es, $Df$ es $C^{k-1} \Leftrightarrow p\mapsto dF_p$ es $C^{k-1} \Leftrightarrow F$ es $C^k \Leftrightarrow f$ es $C^k$ . Así, se muestra la reivindicación 1.

(Nota en particular, $f:M \to M$ es $C^1$ si y sólo si $Df: TM \to TM$ es continua ( $C^0$ ).)

A continuación, abordamos la pregunta (1). Es bastante larga si compruebo todas las condiciones de suavidad, así que seré breve aquí. Se quiere demostrar que $x\mapsto (D_x f: T_xM \to T_{f(x)}N)$ es continua. Pero hay que especificar un dominio para este mapa. Primero definimos un haz suave $f^*TN$ en $M$ dado por

$$f^*TN = \{ (x, v) \in M \times TN: f(x) = \pi_N (v)\}.$$

A continuación definimos el haz vectorial $End(TM , f^*TN)$ en $M$ para que en $x\in M$ la fibra $End(TM, f^*TN)_x$ es el espacio lineal $$End(T_xM, (f^*TN)_x) = End(T_xM, T_f(x)N)$$

(o $\mathcal L(T_xM , T_{f(x)}N)$ utilizando su notación). Así, el mapa $\tilde Df : M\to End(TM, f^*TN)$ dado por $x\mapsto D_xf$ es una sección.

Reclamación 2 : Dejemos que $f:M \to N$ ser un $C^1$ mapa. A continuación, $f$ es de la clase $C^k$ , $k\geq 2$ si y sólo si $\tilde D f$ es un $C^{k-1}$ mapa.

Prueba de la afirmación 2: Utilizando las mismas notaciones, bajo un gráfico $(U, \phi)$ de $M$ queremos especificar un gráfico $(End(TM, f^*TN)|_U, \hat \Phi)$ en $D_x f \in End(TM, f^*TN)$ . Ahora, para cualquier $x\in M$ y $(U, \phi)$ un gráfico que contenga $x$ definan el isomorfismo $\hat \phi_x : T_x M \to \mathbb R^m$ por $$\hat\phi_x [\gamma] = (\phi\circ \gamma)'(0).$$

Entonces podemos definir

$$\hat\Phi : End(TM, f^*TN)|_U \to \mathbb R^m \times End(\mathbb R^m , \mathbb R^n)$$

por $\hat\Phi (A_x) = (\phi(x), \hat\psi_{f(x)}\circ A_x \circ \hat\phi_x^{-1})$ para todos $A_x : T_xM \to T_{f(x)}N$ .

Bajo este cuadro, tenemos (escribir $\phi(x) = p$ )

$$\hat\Phi\circ \tilde D f \circ \phi^{-1} (p)= \hat\Phi D_xf = (p, dF_p)$$

Así, $f$ es de la clase $C^k$ si y sólo si $\tilde D f$ es de la clase $C^{k-1}$ . Así, se muestra la reivindicación 2.

Es decir, tanto (1) como (2) son equivalentes a la afirmación de que $f$ es $C^1$ .