Pregunta conceptual sobre las ruedas

Question

Estoy tratando de entender bastante ingenuamente las ruedas en un marco específico.

Introducción

Normalmente pensamos en los cuadrados y en los círculos como conceptos diferentes de formas, pero estoy replanteando que ambos son polígonos con lados iguales. La diferencia es que un círculo es un polígono con infinitos lados iguales y un cuadrado es un polígono con cuatro lados iguales.

Imagina que tienes un caballo y un carro. El carro y su peso es de 100 kg. El carro tiene dos ruedas. En el primer caso, el carro tiene ruedas cuadradas, en el segundo caso ruedas redondas.

Supongamos que el caballo tira del carro a una distancia que haría que la rueda cuadrada diera diez vueltas completas. Llamemos a esa distancia D.

Preguntas

1) La fuerza con la que ese caballo tiene que tirar para que el carro se mueva a una velocidad constante a través de D con

A) la rueda cuadrada = polígono, lados iguales, número de lados =4

B) la rueda redonda = = polígono, lados iguales, número de lados = infinito

¿Cuál sería esa fórmula?

Me gustaría saber cuál es la fórmula universal, referida al número de lados del polígono.

Entonces, en el caso de la rueda redonda con sus infinitos lados, la simplificación de la fórmula daría supongo una fórmula más conocida para el movimiento de la rueda (no sé cuál es)

(Intuitivamente, está claro que hay una carga mucho mayor en la rueda cuadrada y que además si trazáramos la gráfica de la fuerza que necesita el caballo para tirar, sería un máximo justo cuando hay una transición al lado del cuadrado que está plano en el suelo y sería un mínimo cuando la línea entre el centro del cuadrado y la esquina del cuadrado está a 90 grados de la superficie del suelo. Así que me imagino que la fórmula daría una onda, y cuantos más/menos lados del polígono, más "intensa" sería la onda.. a medida que el número de lados tiende al infinito -es decir, la rueda tiene una forma más circular- la onda se amortiguaría hasta ser un número absoluto).
Se agradecería mucho la orientación).

2) Para lo anterior, ¿cuál es la relación con la carga máxima por eje requerida? Conceptualmente y/o mediante una fórmula.

(Me encantaría saber cuál es la fórmula, pero me gustaría entender mejor el concepto).

***Intuitivamente, está claro que en cualquier punto la superficie de la rueda que toca el suelo -sea la rueda un círculo o un cuadrado- es exactamente la misma.

NB: No soy físico, pero entiendo conceptos matemáticos y física de la escuela secundaria. Dicho esto, estaría muy agradecido por cualquier explicación que se construya sobre el terreno en lugar de citar cosas como el par de torsión.

¡Gracias!

Answer 1

No se necesita ninguna fuerza para mantener la rueda en movimiento, sin importar si es circular o cuadrada, al menos en el caso idealizado en que la energía se conserva. En la situación real, el cuadrado tiene pérdidas de energía mucho mayores que el círculo, pero esto depende de muchos factores, no sólo de la forma de la rueda.

En el caso de la rueda circular, si no hay rozamiento no hay nada que frene la rueda y el carro avanzará sin necesidad de caballos.

En el caso de una rueda cuadrada, la velocidad variará con el tiempo, porque para que el cuadrado pase por la diagonal debe utilizar primero parte de la energía cinética para levantar el carro (y por tanto necesita un mínimo impulso inicial para estar en movimiento), después de lo cual el carro empezará a caer y a devolver la energía cinética. En el caso de que no haya fricción, esto continuará periódicamente sin la ayuda de los caballos.

Answer 2

1) La fuerza con la que ese caballo tiene que tirar para que el carro se mueva a una velocidad constante a través de D con

No existe, la fuerza está cambiando continuamente y la fuerza integrada es cero (ignorando las pérdidas en el eje y demás).

Creo que es más útil calcular el máximo fuerza. En el caso de una rueda cuadrada eso ocurre cuando uno de los lados de la rueda está plano sobre el suelo. Seguro que te lo puedes imaginar. Ahora añadiré un ligero giro para conseguir el caso que realmente buscas - la fricción entre la superficie de la rueda y el suelo es infinita - queremos que nuestra rueda gire, no que patine.

Considere el carro cuando está equilibrado en una esquina de la rueda. En este caso, la fuerza necesaria para mover el carro es nula - incluso un pequeño toque hará que empiece a girar hacia delante por sí mismo. Eso continúa, una fuerza negativa, hasta que el lado de la rueda está plano en el suelo de nuevo. En ese momento se tiene de nuevo la fuerza máxima.

¿Qué es ese máximo? Es simplemente la cantidad de fuerza necesaria para levantar el carro a lo largo de la pendiente desde el eje hasta la esquina "principal". Piensa en un cuadrado, dibuja una línea desde el centro hasta una esquina. ¿Cuál es ese ángulo? 45 grados. Entonces la fuerza es F = W(carro) sin(45) = 70 N.

Entonces la fórmula general es simplemente el seno del ángulo máximo entre la esquina y el eje. Es decir, 90 - (ángulo interno de la esquina/2). Así que para un triángulo cuadrado es 90 - (60/2) = 60, y para un hexágono es 90 - (120/2) = 30. Para un círculo es 90 - (180/2) = 0. Así que un triángulo es más difícil, un hexágono menos, y un círculo cero.

El total La fuerza es nula porque la cantidad que necesitas para levantar el carro es la misma que obtienes cuando vuelve a bajar por el otro lado.

Y como otros han señalado, esto sólo se refiere a la fuerza necesaria para hacer girar la rueda, ignorando los efectos de deslizamiento, la fricción en el eje y la aceleración de la masa. Para lo que pides, cero es razonable para todo esto.

Answer 3

Tomemos el primer caso, cuando la rueda es cuadrada. En este caso habrá dos subcasos. (i) Deslizamiento entre la superficie y la rueda (ii) No hay condición de sueño.

(i)Si hay deslizamiento entre la rueda y la superficie, no importa si la rueda es cuadrada o redonda o poligonal. También puede girar o no. Además, no habrá ninguna fórmula diferente, aparte del simple equilibrio de fuerzas en la rueda.

(ii) Si no hay deslizamiento entre la rueda cuadrada y la superficie, el par de torsión entrará en escena. Hay dos fuerzas que actúan sobre la rueda, una es la fricción estática y la otra es la fuerza sobre el eje de la rueda. Si se considera la rotación en el punto de esquina de la rueda, el par debido a la fricción será cero. Sólo habrá un par debido al eje que hará girar la rueda según la ecuación $\tau = I \alpha$ . El valor máximo de la fuerza se puede calcular en este caso aplicando la condición de volcado. Para volcar la rueda cuadrada se necesita un par en el lado opuesto al generado por la reacción normal. El valor máximo del par será $\tau = Nr$ .

N = Reacción normal r = longitud de un lado del cuadrado/2

Ahora, al aumentar el número de lados del polígono, la longitud del lado del polígono seguirá reduciéndose. Porque la fuerza máxima requerida para derribar la rueda es $Nr$ También se seguirá reduciendo.

En el caso de la rueda, a medida que el número de lados tiende a infinito o, en otras palabras, la longitud del lado de un polígono con infinitos lados tiende a cero. (La rueda es un polígono con cada lado de longitud 0). Por lo tanto, en el caso de la rueda, se requiere una fuerza nula para hacerla girar o, en otras palabras, un ligero empujón también será capaz de hacer girar la rueda, sin importar cuánto peso haya en ella. (Tenga en cuenta que estamos asumiendo que la rueda es un cuerpo rígido perfecto aquí, es decir, no hay ninguna deformación en la rueda).

En la vida real, no hay un cuerpo perfecto y debido a esto la reacción normal y la fricción cambiarán y así el valor de la fuerza máxima requerida cambiará en el caso de la rueda circular.

Así que, de hecho, no hay necesidad de crear una fórmula genérica para esto, podemos simplemente aplicar la ecuación de equilibrio de fuerzas y podemos calcular la fuerza máxima requerida.