¿Aplicación del valor medio/teorema de Rolle?

Question

Pregunta

Dejemos que $f$ sea una función diferenciable tal que $f'$ es continua en $[0, 1]$ y $M$ el valor máximo de $|f'(x)|$ en $[0, 1]\ $ . Demostrar que, si $f(0) = f(1) = 0$ entonces $$\int^{1}_{0} |f(x)| \mathrm {d}x \leq \frac M 4\ .$$

---

Hace tiempo que me planteo esta cuestión, pero no sé por dónde empezar. Como veo que los puntos extremos están dados, pienso en el MVT, pero como también son iguales, pienso también en el Teorema de Rolle. Estas son sólo mis intuiciones - podrían estar equivocadas. Además, los módulos de $f'(x)$ y $f(x)$ me están despistando. Cualquier consejo/sugerencia sobre cómo enfocar esta cuestión sería muy apreciado :)

P.D. Sólo estoy cursando un módulo de introducción al cálculo en la universidad, así que las herramientas de las que dispongo son, a grandes rasgos, la IVT, la MVT y el Teorema de Rolle.

Answer 1

Utilizo la pista de Kelenner para resolver este problema.

Tenemos $$|f(x)| = |f(x) - f(0)| = |f(1)-f(x)|\text{.}$$ y por el MVT, para cualquier $0 < x \leq 1$ existe un $c_1 \in (0, 1)$ Satisfaciendo a $$f^{\prime}(c_1) = \dfrac{f(x)-f(0)}{x - 0} = \dfrac{f(x)-f(0)}{x} \implies |f(x)-f(0)| = |f^{\prime}(c_1) \cdot x| = |f^{\prime}(c_1)||x|\leq M|x|\text{.}$$ Así, tenemos $$|f(x)| = |f(x) - f(0)| \leq M|x|\text{.}$$ Además, por el MVT, para cualquier $0 \leq x < 1$ existe un $c_2 \in (0, 1)$ Satisfaciendo a $$f^{\prime}(c_2) = \dfrac{f(1)-f(x)}{1-x} = \dfrac{-f(x)}{1-x} = \dfrac{f(x)}{x-1} \implies |f(x)| = |f^{\prime}(c_2) \cdot (x-1)| = |f^{\prime}(c_2)||x-1| \leq M|x-1|\text{.}$$ Por lo tanto, $$|f(x)| \leq M|x-1|\text{.}$$ Así, $$\int_{0}^{1}|f(x)|\text{ d}x \leq \int_{0}^{1/2}M|x|\text{ d}x+\int_{1/2}^{1}M|x-1|\text{ d}x = \dfrac{M}{8} + \dfrac{M}{8} = \dfrac{M}{4}\text{.}$$

Answer 2

La prueba rigurosa dada anteriormente demuestra la desigualdad, pero quiero dar un pequeño argumento de mano que puede dar una idea de por qué esto debe ser cierto.

El problema consiste efectivamente en maximizar el área bajo una función en el intervalo $[-1,1]$ que satisface las condiciones dadas.

Así que en este intervalo sabemos que los puntos finales de las funciones están en $x=0$ y $x=1$ que se cruza con el $x$ eje.

En el intervalo $(0,1) $ La función tiene infinitas posibilidades, pero tiene que ser diferenciable, $f'(x)$ tiene que ser continua y satisfacer $max |f' (x)|=M $ .

Dadas estas 3 condiciones necesitamos maximizar el área bajo la curva.