$\epsilon{\rm -}\delta$ prueba de la discontinuidad de Dirichlet ' función

Question

¿Cómo puedo probar que el $$ de la función f (x) = \left\{\begin{array}{l l} x &\text{if }x \in \mathbb{Q} \\ -x & \text{if } x \notin \mathbb{Q} \end{array} \right. $$ es discontinua para $x \neq 0$, uso de %#% de #% y %#% de #%?

Veo que es verdad. Pero no puedo demostrar usando sólo %#% de #% y $\epsilon$'s.

Answer 1

Deje $x_0\ne 0$ ser fijo. De manera informal, $f$ es continua en a $x_0$ significaría que $f(x)$ puede hacerse tan cerca de $f(x_0)$ como se desee tomando $x$ lo suficientemente cerca de a $x_0$. Con el epsilon de negocios, esto significa que $\color{maroon}{ \text{for every}}$ $\epsilon>0$, hay un $\delta>0$ tal que $$\etiqueta{1} \underbrace{|f(x_0)-f(x)|<\epsilon}_{f(x)\text{ es cerca de }f(x_0)} \quad\text{ cuando }\quad \underbrace{|x-x_0|<\delta\phantom{f}}_{x\text{ es cerca de }x_0}.$$

Si $f$ no fueron continuas en $x_0$, esto significaría que hay $\color{maroon}{ \text{is some}}$ $\epsilon>0$ tal que no importa lo $\delta$ que usted elija, la ecuación de $(1)$ no es cierto. De manera informal, esto significa que no importa qué tan cerca de tomar $x$$x_0$, no se garantiza que $f(x)$ está cerca de a $f(x_0)$ y, de hecho, usted puede encontrar una $x$ cerca de $x_0$ con $f(x)$ "mucho" lejos de $f(x_0)$.

Por lo que usted necesita para mostrar las siguientes es verdadera:

S: Hay algunos $\epsilon>0$ tal que para cada a $\delta>0$, hay un $x_1$ tanto $|x_1- x_0|<\delta$$|f(x_1)-f(x_0)|\ge \epsilon$.

Bien, ¿cómo lograr esto? Consideremos la gráfica de una función (como podemos; por supuesto, es imposible dibujar la gráfica de $f$, pero vamos a utilizar nuestra imaginación) y tratar de conseguir algo de intuición en cuanto a lo que el requerido $\epsilon$ debe ser. La gráfica de su función se asemeja a la de los gráficos de las líneas de $y=\pm x$; o, si se prefiere, de una forma X. Racional de los valores de $x$, el punto de $\bigl(x,f(x)\bigr)$ está en el gráfico de $y=x$; y para irracional valores de $x$, el punto de $\bigl(x,f(x)\bigr)$ está en el gráfico de $y=-x$.

Le sugiero que dibujar la imagen ahora (cuando tengo tiempo, voy a dar uno, aunque).

Ahora, si tomamos cualquier intervalo abierto $I$ contiene $x_0$, usted puede encontrar un número racional y un número irracional en $I$. (¿Por qué? Esta es la esencia de todo el argumento, así que vale la pena que usted convencerse de que puede.) Por lo tanto, usted puede encontrar un punto de $x_1$ $I$ que es irracional si $x_0$ es racional y lo que es racional si $x_0$ es irracional. Se sigue entonces que $f(x_0)$ $f(x_1)$ están lejos. De hecho, son aproximadamente el $2|x_0|$ lejos el uno del otro cuando se $I$ tiene la longitud pequeña, ya que, si vas a permitir que un torpe y vaga declaración, $f(x_0)$ $f(x_1)$ son diferentes en los brazos de la X.

Esto nos lleva a sospechar que $|x_0|$ serviría para la $\epsilon$ necesaria en la instrucción S. Y ahora es una cuestión de formalizar las cosas. Tenemos que mostrar que la declaración de S mantiene.

Deje $0 < \epsilon < |x_0|$.

Deje $\delta>0$ ser arbitraria.

Tenemos que mostrar que hay un $x_1$ $|x_0-x_1|<\delta$ tal que $|f(x_0)-f(x_1)|\ge\epsilon $.

La discusión anterior apunta a un camino hacia la búsqueda de $x_1$. Elija $x_1$ a ser un número irracional con $|x_0-x_1|<\delta$ si $x_0$ es racional. Si $x_0$ es irracional, elija $x_1$ a ser un número racional con $|x_0-x_1|<\delta$.

Ahora nos muestran esta elección de $x_1$ "obras":

Ya sea

$\ \ \ \ \ f(x_0)=x_0$ $f(x_1)=-x_1$

o

$\ \ \ \ \ f(x_0)=-x_0$ $f(x_1)= x_1$ .

En cualquier caso, $|f(x_0)-f(x_1)| = |x_0|+|x_1|\ge |x_0|>\epsilon. $

Y eso es todo...

Answer 2

Que $x>0$ y asumir que podemos encontrar un $\delta>0$ tal eso si $|y-x|\leq\delta$ y $|f(x)-f(y)|<x/2$. Si $x$ es racional, quiere decir $|x-f(y)|<x/2$ lo $x/2<f(y)<3x/2$ % todos $y\in (x-\delta,x+\delta)$. En particular, $y\in\mathbb Q$ % todos $y\in (x-\delta,x+\delta)$. Si $x$ i irracionales, entonces $|x+f(y)|<x+2$ % que $x/2<-f(y)<3x+2$y $y$ tiene que ser irracional si se encuentra en $(x-\delta,x+\delta)$.

¿Ves por qué conduce a una contradicción?