Potencia de la inversa de Moore-Penrose

Question

Dejemos que $A^+$ sea la inversa de Moore-Penrose de $A \in {\mathbb R}^{n\times n}$ . ¿Se cumple lo siguiente?

$$(A^m)^+ = (A^+)^m, \quad m \in {\mathbb Z}_+.$$

Gracias.

Answer 1

No. Por ejemplo, cuando $A=A^2=\pmatrix{0&1\\ 0&1}$ tenemos \begin{aligned} A^+&=\frac12A^T,\\ \left(A^+\right)^2&=\frac14(A^T)^2=\frac14A^T,\\ \left(A^2\right)^+&=A^+=\frac12A^T.\\ \end{aligned}