Demostrar que existe $k$ tal que $p(n)p(n+1)=p(k)$

Question

Pregunta exacta

Dejemos que $p(x)$ sea un polinomio cuadrático mónico sobre $\mathbb{Z}$ . Demuestre que para cualquier número entero $n$ existe un número entero $k$ tal que $p(n)p(n+1)=p(k)$

Expandir el polinomio sólo crea un desorden. ¿Hay alguna forma intuitiva de hacerlo? Se agradece cualquier sugerencia

Answer 1

Dejemos que $p(x)=x^2+bx+c$ debido a la monicidad (si es que ésta es una palabra). Entonces $$\begin{align}p(n)p(n+1)&=(n^2+bn+c)((n+1)^2+b(n+1)+c)\\&=(n^2+bn+c)(n^2+(2+b)n+1+b+c)\\&=(n^2+bn+c)^2+(n^2+bn+c)(2n+1+b)\\&=(n^4+2bn^3+(b^2+2c)n^2+2bcn+c^2)+(n^3+(1+3b)n^2+(b^2+b+c)n+c+bc)\\&=n^4+(1+2b)n^3+(1+b^2+3b+2c)n^2+(b^2+b+2bc+c)n+(bc+c+c^2)\end{align}$$ Ahora bien, si $p(n)p(n+1)=p(k)$ entonces $$n^4+(1+2b)n^3+(1+b^2+3b+2c)n^2+(b^2+b+2bc+c)n+(bc+c^2)=k^2+bk\tag{1}$$ para algunos $k$ .

En primer lugar, para conseguir $bc+c^2$ debemos tener que el coeficiente independiente de $n$ en $k$ es $c$ porque entonces $k^2+bk$ "termina" en $bc+c^2$ .

A continuación, ya que $p(n)p(n+1)$ también es mónico, por lo que debe $k$ . Por lo tanto, actualmente tenemos $$k=n^2+\text{something}\cdot n+c$$

Finalmente, sustituyendo esto en $(1)$ produce $$\boxed{k=n^2+(1+b)n+c}$$

Answer 2

Si pones $p(n)=n^2+an+b$ entonces $p(n)p(n+1)=p(k)$ donde $$k=n(n+1)+an+b.$$

De hecho, ambos $p(n)p(n+1)$ y $p(k)$ ampliar a $$ n^4 + (2a + 2)n^3 + (a^2 + 3a + 2b + 1)n^2 + (a^2 + (2b + 1)a + 2b)n + (ba + b^2 + b) $$