¿Hay alguna forma de resolver directamente esta ecuación matricial? $XAX^{T} = B$

Question

$X^{T}$ es la transposición de $X$ . $A$ es un $n$ x $n$ matriz y $B$ es un $m$ x $m$ matriz, $m$ > $n$ , ambos son conocidos, $A$ es positivo definitivo y $B$ es simétrico. Me gustaría encontrar $X$ .

Answer 1

EDITAR. Tenga en cuenta que si $A$ es simétrico real $\geq 0$ , entonces necesariamente $B$ es simétrico real $\geq 0$ con $rank(B)\leq rank(A)$ .

Por lo tanto, suponemos que $A,B$ son simétricos $\geq 0$ matrices que satisfacen $rank(B)=r\leq rank(A)=s\leq n<m$ . Hay matrices invertibles $P\in M_m,Q\in M_n$ s.t. $A=Qdiag(I_s,0_{n-s})Q^T,B=Pdiag(I_r,0_{m-r})P^T$ y por lo tanto $P^{-1}XQdiag(I_s,0)(P^{-1}XQ)^T=diag(I_r,0)$ . Como sabemos $P,Q$ Basta con encontrar el $Y=P^{-1}XQ\in M_{m,n}$ s.t. $Ydiag(I_r,I_{s-r},0_{n-s})Y^T=diag(I_r,0_{s-r},0_{n-s},0_{m-n})$ . Con respecto a las matrices de bloques anteriores, dejemos que $Y=[Y_{i,j}],1\leq i\leq 4,1\leq j\leq 3$ . Por identificación de los elementos diagonales de RHS y LHS , $Y_{2,1}Y_{2,1}^T+Y_{2,2}Y_{2,2}^T=0$ que implica $Y_{2,1}=0,Y_{2,2}=0$ . Del mismo modo, $Y_{3,1}=0,Y_{3,2}=0$ y $Y_{4,1}=0,Y_{4,2}=0$ . Finalmente $Y=\begin{pmatrix}Y_{1,1}&Y_{1,2}&Y_{1,3}\\0&0&Y_{2,3}\\0&0&Y_{3,3}\\0&0&Y_{4,3}\end{pmatrix}$ donde $Y_{1,1}Y_{1,1}^T+Y_{1,2}Y_{1,2}^T=I_r$ .