Dejemos que $f: [5,8] \rightarrow \mathbb{R}$ se define por $f(x) = \cos^3(x + 1)$ . Entonces $f$ es uniformemente continua si para cada $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que $x,y \in [5,8]$ y $|x-y| < \delta$ implica $|f(x)-f(y)| < \epsilon$ .
Estoy tratando de encontrar un $\delta > 0$ para demostrar que $|f(x)-f(y)| < \epsilon$ .
Supongamos que $|x-y| < \delta = ?$ y $x,y \in [5,8]$ . Entonces $|f(x)-f(y)| = |\cos^3(x + 1)-\cos^3(y + 1)|$ .
Utilizando la identidad trigonométrica $\cos^3a = \frac{\cos 3a + 3\cos a}{4}$ Podría escribir $|f(x)-f(y)|$ como
$\frac{|\cos(3x+3) + 3\cos(x+1) - \cos(3y+3) - 3\cos(y+1)|}{4}$ = $\frac{|\cos(3x+3) - \cos(3y+3) + 3[\cos(x+1) - \cos(y+1)]|}{4}$
Pero hasta aquí estoy un poco atascado ya que no estoy seguro de cómo demostrar que esto es menos que $\epsilon$ utilizando el hecho de que $|x-y| < \delta$ .
