Forma no-divergencia de un PDE de 2 º orden

Question

Esta podría ser una pregunta trivial, pero estoy muy oxidado con respecto al cálculo y soy nuevo en ecuaciones en derivadas parciales. Cómo podrías escribir el siguiente segundo orden quasilinear ecuación es no-divergencia de la forma:

La ecuación es: $$-\nabla\cdot\big(a(u,\nabla u)\big)+c(u,\nabla u) = g.$$

Basado en la definición de un quasilinear de segundo orden de la pde se define en Lawrence Evans libro debe ser de la forma: $$ - \sum_{i,j =1}^{n}a_{ij}(x,y,\nabla u) \frac{\partial^{2}u }{\partial x_{i}\partial x_{j}} + c(x,u,\nabla u) = g. $$ Creo que es una aplicación de la regla de la cadena, pero estoy teniendo dificultades para conseguir un buen momento de forma. ¿Qué pasos tendría que utilizar para conseguir este resultado?

Gracias.

Answer 1

Estoy usando la notación $\nabla:=\mathrm{div}$. Aparentemente $a=a(u,\nabla u)$ es un vector, si "div" que se aplica en la misma, es decir, $a=(a_1,\ldots,a_n)$. Entonces $$ -\nabla\cdot(u,\nabla u)=-\sum_{k=1}^n \frac{\partial a_k}{\partial x_k}, $$ y si establecemos $a_k=a_k(u,v_1,\ldots,v_n)$, tenemos $$ \frac{\partial a_k}{\partial x_k}=\frac{\partial a_k}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x_k}+\sum_{j=1}^n\frac{\partial a_k}{\partial v_j}\frac{\partial^2 u}{\partial x_k\partial x_j}. $$ Así $$ \nabla\cdot(u,\nabla u)=\sum_{k=1}^n\left(\frac{\partial a_k}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x_k}+\sum_{j=1}^n\frac{\partial a_k}{\partial v_j}\frac{\partial^2 u}{\partial x_k\partial x_j}\right)=\sum_{k,j=1}^n\frac{\partial a_k}{\partial v_j}\frac{\partial^2 u}{\partial x_k\partial x_j}+\sum_{k=1}^n \frac{\partial a_k}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x_k}. $$

Por lo tanto $$ -\text{div} ((u,\nabla u))+c(u,\nabla u) = g $$ puede escribirse también como $$ -\sum_{k,j=1}^n\frac{\partial a_k}{\partial v_j}\frac{\partial^2 u}{\partial x_k\partial x_j}-\sum_{k=1}^n \frac{\partial a_k}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x_k}+c(u,\nabla u) = g. $$