Caso especial de la fórmula de descomposición de la varianza

Question

El final del preámbulo de la página de la wikipedia para el ley de la varianza total proporciona la siguiente fórmula para la varianza de $X$ donde $A_1,A_2,\ldots,A_n$ es la partición del espacio de resultados (es decir, eventos $A_1,A_2,\ldots,A_n$ son mutuamente excluyentes y exhacientes):

$$\tag{1}\operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^n\operatorname{Var}(X|A_i)\operatorname{P}(A_i)-2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1}\operatorname{E}(X|A_i)\operatorname{P}(A_i)\operatorname{E}(X|A_j)\operatorname{P}(A_j)$$

Esto se da sin pruebas. No veo cómo se deduce de la fórmula de descomposición de la varianza copiada del mismo artículo con variables $X$ y $Y$ respectivamente, se ha cambiado el nombre por el de $A$ y $X$ para hacerlos corresponder a la ecuación (1):

$$\operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}_A(\operatorname{Var}(X|A))+\operatorname{Var}_A(\operatorname{E}(X|A))\tag{2}$$

Creo que $\operatorname{E}_A(\operatorname{Var}(X|A))=\sum_{i=1}^n\operatorname{Var}(X|A_i)\operatorname{P}(A_i)$ que coincide con el primero de los dos términos del lado derecho de (1) y (2), pero, mientras que en (1) el segundo término puede ser negativo (por ejemplo, cuando $\operatorname{E}(X|A_i)>0$ para todos $i=1,2,\ldots,n$ ), el segundo término de (2) es necesariamente positivo (ya que la varianza no puede ser negativa). Por lo tanto, estoy confundido.

Tal vez se me escapa algo. ¿Podría alguien aclarar y/o proporcionar una referencia con la derivación de (1)?

Answer 1

Dejemos que el espacio muestral se denote como $\Omega$ . $$ \begin{eqnarray} \mathbb{V}\left(X\right){}={}\mathbb{V}\left(X{\bf{1}}_{\Omega}\right)&{}={}&\mathbb{V}\left(X\sum\limits_{i}{\bf{1}}_{A_i}\right){}={}\mathbb{V}\left(\sum\limits_{i}X{\bf{1}}_{A_i}\right)\newline &&\newline &{}={}&\sum\limits_{i}\mathbb{V}\left(X{\bf{1}}_{A_i}\right){}+{}2\sum\limits_{i<j}\mathbb{C}ov\left(X{\bf{1}}_{A_i},X{\bf{1}}_{A_j}\right)\newline &&\newline &{}={}&\sum\limits_{i}\mathbb{V}\left(X{\bf{1}}_{A_i}\right){}-{}2\sum\limits_{i<j}\mathbb{E}\left[X{\bf{1}}_{A_i}\right]\mathbb{E}\left[X{\bf{1}}_{A_j}\right]\newline &&\newline &{}={}&\sum\limits_{i}\mathbb{V}\left(X\vert A_i\right)P(A_i){}-{}2\sum\limits_{i<j}\mathbb{E}\left[X\vert A_i\right]P(A_i)\mathbb{E}\left[X\vert A_j\right]P(A_j)\,. \end{eqnarray} $$