Como alguien dijo en los comentarios, los nombres de los índices a veces son sólo índices "ficticios". Así que cuando los índices aparecen repetidos como aquí $A_iA^i$ Esto significa que $\sum_{i=1}^n A_iA^i = \sum_{j=1}^n A_jA^j$ . Así que el resultado es el mismo independientemente del nombre que se utilice para el índice. Esto es similar a lo que ocurre con las variables ficticias en la integración: $\int_a^bf(x)dx = \int_a^b f(u)du$ . Por una razón similar, también se puede cambiar el nombre de los índices que no intervienen en una suma (no se repiten), siempre que se cambien en todos los términos (ambos lados de la ecuación). Por ejemplo, imagina que tengo la identidad $a_i +c_i= b_i$ entonces no importa si lo declaro como $a_j +c_j= b_j$ (cambiar el nombre de $i$ como $j$ en todos los términos) pero no puedo escribir $a_i +c_i= b_j$ o $a_i +c_j= b_j$ . Con estas reglas se pueden cambiar los nombres manteniendo la coherencia de las ecuaciones.
Ahora con respecto a las identidades. No conozco todo el contexto pero por lo que has escrito parece que $J_{k}^{j'}J_{k'}^k = \delta_{k'}^{j'}$ ¿verdad? Entonces déjame recordarte un truco clásico con $\delta_{j}^k$ . Si tiene $\delta_{j}^k$ multiplicando con otro símbolo que comparta algún índice en una suma, entonces se pueden sustituir los índices de la siguiente manera: por ejemplo $J_{i'j'}^i\delta_{k'}^{j'} = J_{i'k'}^i$ , donde $J_{i'j'}^i$ y $\delta_{k'}^{j'} $ compartir el índice repetido $j'$ entonces $j'$ en $J_{i'j'}^i$ cambios en el otro índice contenido en $\delta_{k'}^{j'}$ , lo que da lugar a $J_{i'k'}^i$ (y el delta de Kronecker desaparece). ¿Por qué? Tenga en cuenta que $\delta_{k'}^{j'}=0$ a menos que $k'=j'$ por lo que todos los términos de la suma $J_{i'j'}^i\delta_{k'}^{j'}$ desaparecen, excepto por $J_{i'k'}^i$ .
Ahora estamos preparados para mostrar la identidad. En primer lugar, contrate con $J_{k'}^k$ igual que tú: $$ J_{i'j'}^iJ_{j}^{i'}J_k^{j'}J_{k'}^k + J_{i'}^iJ_{jk}^{i'}J_{k'}^k=0 $$ Ahora utiliza el hecho de que $J_k^{j'}J_{k'}^k = \delta_{k'}^{j'}$ : $$ J_{i'j'}^iJ_{j}^{i'}\delta_{k'}^{j'} + J_{i'}^iJ_{jk}^{i'}J_{k'}^k=0 $$ Ahora, utiliza el truco de la sustitución del delta de kronecker para escribir $J_{i'j'}^i\delta_{k'}^{j'} = J_{i'k'}^i$ : $$ J_{i'k'}^iJ_{j}^{i'}+ J_{i'}^iJ_{jk}^{i'}J_{k'}^k=0 $$ Tenga en cuenta que $J_{j}^{i'}$ no comparte ningún índice con $\delta_{k'}^{j'} $ para que siga siendo el mismo. Ahora cambie el nombre $k'$ como $j'$ en toda la ecuación: cambiar todas las ocurrencias de $k'$ a $j'$ : $$ J_{i'j'}^iJ_{j}^{i'}+ J_{i'}^iJ_{jk}^{i'}J_{j'}^k=0 $$ que termina la prueba.
