Dado un espacio de Banach $X$ que puede escribirse como una suma directa de dos subespacios $Y\oplus Z$ y el $u\in B(X), w\in B(Y), v\in B(Z)$ y $u=w\oplus v$ . donde $B(\cdot)$ denota el espacio de operadores acotados en el espacio.
Entonces, ¿es cierto que $u$ es compacto si tanto $v$ y $w$ son? Si no, ¿cuál sería el contraejemplo?
El $\Rightarrow$ es realmente cierto, como se ve en La suma directa de operadores compactos es compacta . Sin embargo, la dirección inversa requiere que cada operador compacto sea el límite de la norma de los operadores de rango finito, lo que no es el caso en los espacios de Banach generales.
P.D. Si $X, Y, Z$ son todos espacios de Hilbert, esto es efectivamente cierto. En el mismo enlace anterior se aborda la cuestión.
