¿Es un espacio métrico finito completo?

Question

Si $(X,d)$ es un espacio métrico con un número finito de elementos, es $X$ ¿completa?

Sé que todo espacio métrico finito es compacto, y también que los espacios compactos son completos. Entonces, ¿es esto cierto?

Answer 1

Aquí hay una forma rápida de ver que esto es cierto:

Desde $X$ es finito, se puede encontrar una distancia $\rho > 0$ de manera que no haya dos puntos dentro de $\rho$ entre sí. Por ejemplo $\rho = \frac{1}{2} \min_{x \neq y} d(x,y)$ funciona. Fíjate en esto $\rho$ es estrictamente mayor que $0$ ya que estamos tomando el mínimo de un número finito de cosas no nulas.

Pero ahora fija una secuencia de Cauchy en $X$ . Al final los términos se acercan más que cualquier $\epsilon$ . En particular, se acercan más que $\rho$ . Después de este punto, no hay elección, la secuencia debe ser constante. Entonces es evidente que converge.

El argumento de los espacios compactos es una variación de este tema, por lo que su argumento de nivel superior coincide más o menos con éste una vez que se desenvuelve el contenido del teorema.

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Espero que esto ayude ^_^

Answer 2

Prueba directa.

Dejemos que $r=\min\{d(x,y):x,y\in X, x\ne y\}$ . Entonces $r>0$ . Supongamos que $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy. Entonces existe $k$ tal que, para $m,n\ge k$ , $d(x_m,x_n)<r$ .

Esto implica que la secuencia es constante desde $k$ en adelante.

Answer 3

Es fácil ver que lo que se tiene aquí es un espacio discreto. Por lo tanto toda secuencia de Cauchy es eventualmente constante. Por lo tanto convergente.