Si existe una Lotería Nacional justa, que alguien apueste 1€, el Jackpot aumenta en 1€, y hay p posibilidad de que gane un Jackpot. Si se gana un Jackpot, se vuelve a poner a 0. se repite.
Podemos modelarlo fácilmente como un ensayo de Bernoulli y el tamaño medio del bote es 1/p.
Ahora bien, si observamos que hay apuestas de un millón de libras esterlinas en la Lotería Nacional, y se gana n veces. ¿Cuál es el tamaño medio del bote en este caso?
El bote medio es $\frac{M-J}{n}$ donde $J$ es la cantidad que queda en el bote después de la $M$ ensayos. Es una función lineal de $J$ Así que, teniendo en cuenta $E(J)$ el bote medio esperado es $\frac{M-E(J)}{n}$ .
Dejemos que $j(x, y)$ sea el bote esperado después de $x$ ensayos de los cuales $y$ son victorias. Como los ensayos no tienen memoria, la probabilidad de que el último ensayo sea una victoria es $\frac{y}{x}$ , por lo que obtenemos una recurrencia
$$j(x, y) = \begin{cases} \text{undefined} & \text{if } x<\min(y, 0) \\ 0 & \text{if } x=y \\ \frac{x-y}{x} \cdot (1 + j(x-1, y)) & \text{otherwise} \end{cases}$$
Podemos ampliarlo como $$j(x,y) = \frac{x-y}{x} \left(1+ \frac{x-1-y}{x-1}\left(1+ \frac{x-2-y}{x-2}\left(1+\ldots\left(1+\frac{1}{y+1}\right)\ldots\right)\right)\right)$$
Entonces, por inducción de adentro hacia afuera, $j(x, y) = \frac{x-y}{y+1}$ Así que $E(J) = \frac{M-n}{n+1}$ y el bote medio esperado pagado al $n$ ganadores es $\frac{M-1}{n+1}$
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