Determinar el límite de un producto

Question

Supongamos que $f(x)\to 0$ como $x\to\infty$ .

Me gustaría demostrar que $$ \lim_{x\to\infty}f(x)(1+f(x))^{2x}=0 $$

¿Es esto trivial porque $$ \lim_{x\to\infty}f(x)(1+f(x))^{2x}=\lim_{x\to\infty}f(x)\cdot\lim_{x\to\infty}((1+f(x))^{2x}) $$ y $$ \lim_{x\to\infty}((1+f(x))^{2x})=\underbrace{\overbrace{\lim_{x\to\infty}(1+f(x))}^{=1}\cdot\ldots\cdot\overbrace{\lim_{x\to\infty}(1+f(x))}^{=1}}_{2x-times}=1 $$

Creo que esto no es válido ya que como $x\to\infty$ el número de factores llega al infinito.

Answer 1

Dejemos que $f(x)=x^{-1/2}$ .

Entonces

$$\lim_{x\to\infty}x^{-1/2}(1+x^{-1/2})^{2x}=\lim_{t\to\infty}t^{-1}(1+t^{-1})^{2t^2}=\lim_{t\to\infty}t^{-1}((1+t^{-1})^t)^{2t}.$$

La última expresión está limitada por $\dfrac{2^{2t}}t$ (para $t\ge1$ ) y el límite diverge.

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Tenga en cuenta que con $f(x)=x^{-1}$ que ató por encima con $\dfrac9x$ y el límite es efectivamente $0$ . Es mucho más difícil (aunque IMO posible) encontrar una función que lleve a un límite finito.

Answer 2

Hay dos problemas en su interpretación de $(1+f(x))^{2x}$ .

• Cuando $x$ es un número real, la expresión $a^x$ ( $a>0, a\ne 1$ ) no se interpreta como la multiplicación de " $x$ muchos $a$ 's". No tiene sentido decir "multiplicar". $\pi$ copias de $a$ . En cambio, una de sus definiciones es $$ a^x=e^{x\ln a} $$
• Incluso usted restringe $x$ sean enteros positivos,
  $$ \lim_{n\to\infty}(a_n)^{n}\ne \lim_{n\to\infty}(\lim_{n\to\infty}a_n)^{n}. $$

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La declaración que quiere mostrar:

si $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$ entonces $\lim_{x\to\infty}f(x)(1+f(x))^{2x}=0$

es en general no es cierto . El problema es que uno de los factores es del forma indeterminada : $1^\infty$ . Se ha dado un contraejemplo en un comentario y la de Yves responder .

Como condición suficiente conveniente, si la función $f$ es además tal que $$ \lim_{x\to\infty}x\ln((1+f(x))=0 $$ entonces por continuidad, se tiene $$ \lim_{x\to\infty}\exp\big(2x\ln((1+f(x))\big)=1 $$