Encuentre el grado del campo de división de $x^4 + 1$ en $\mathbb{Q}$

Question

Encuentre el grado del campo de división de $x^4 + 1$ en $\mathbb{Q}$

Creo que primero tengo que encontrar el $4$ raíces de este polinomio y luego calcular $\mathbb{Q}(\mbox{root }1, \mbox{root }2, \mbox{root }3, \mbox{root }4)$ ¿verdad?

Sé que este polinomio tiene raíces sólo en el campo complejo, por lo que necesito encontrarlas:

$$x^4 + 1 = (x^2-i)(x^2+i) = (x-\sqrt{i})(x+\sqrt{i})(x-\sqrt{-i})(x+\sqrt{-i})$$

por lo que necesito calcular

$$\mathbb{Q}(\sqrt{i}, -\sqrt{i}, \sqrt{-i}, -\sqrt{-i})$$

¿Qué tengo que hacer para calcular el grado de estos? He pensado en hacer:

$$[\mathbb{Q}(\sqrt{i}, -\sqrt{i}, \sqrt{-i}, -\sqrt{-i}):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\sqrt{i}, -\sqrt{i}, \sqrt{-i}, -\sqrt{-i}):\mathbb{Q}(\sqrt{i}, -\sqrt{i})][\mathbb{Q}(\sqrt{i}, -\sqrt{i}):\mathbb{Q}]$$

¿es esto correcto?

Entonces, cómo calcular $[\mathbb{Q}(\sqrt{i}, -\sqrt{i}):\mathbb{Q}]$ ? Porque sería el campo $\mathbb{Q}$ con $\pm\sqrt{i}$ pero debe contener también su inverso multiplicativo $\frac{1}{\sqrt{i}}$ . He descubierto que este campo debe contener al menos los elementos $a, b\sqrt{i}, c\frac{1}{i}$ para $a,b\in\mathbb{Q},c\in\mathbb{Q}$ . Pero, ¿cómo sé que $\frac{1}{i}$ no se puede formar con $a+b\sqrt{i}$ por ejemplo? Si encuentro todos los elementos posibles en el campo $[\mathbb{Q}(\sqrt{i}, -\sqrt{i})]$ Puedo encontrar una base para ello y luego tomar su grado sobre $\mathbb{Q}$

Entonces, para el grado $[\mathbb{Q}(\sqrt{i}, -\sqrt{i}, \sqrt{-i}, -\sqrt{-i}):\mathbb{Q}(\sqrt{i}, -\sqrt{i})]$ Debería verificar si $\sqrt{i}$ y $\sqrt{-i}$ son independientes. Si tomamos $w = \sqrt{i}$ entonces $w^2 = i$ y $w^2$ sigue en $\mathbb{Q}$ Así que $-w^2 = -i$ . ¿Hay algún elemento en $\mathbb{Q}(\sqrt{i}, -\sqrt{i})$ tal que su cuadrado es $-i$ ?

Answer 1

Dejemos que $\alpha$ sea una raíz de $x^4+1$ . Entonces $\alpha^3,\,\alpha^5,\,\alpha^7$ son también raíces (¡distintas!) de $x^4+1$ . Una forma fácil de ver esto es considerar las octavas raíces de la unidad, es decir, las raíces de $x^8-1 = (x^4+1)(x^4-1)$ . Si $\alpha$ es una raíz octava primitiva de la unidad, entonces toda potencia impar $\alpha^{2k+1}$ es una raíz de $x^4+1$ (simplemente haz un dibujo). O puedes comprobarlo directamente.

Esto significa que $\mathbb Q[\alpha]$ es el campo de división de $x^4+1$ . Todo lo que tienes que hacer ahora es demostrar que $x^4+1$ es irreducible sobre $\mathbb Q$ para concluir que el grado del campo de división es $4$ .

EDIT: Tal vez una mejor manera de mostrar que $[\mathbb Q[\alpha]:\mathbb Q] = 4$ es notar primero que desde $\alpha$ es una raíz de $x^4+1$ que $[\mathbb Q[\alpha]:\mathbb Q] \leq 4$ . Ahora bien, fíjate en que $\alpha + \alpha^7 = \sqrt 2$ Así que $\mathbb Q[\sqrt 2]\subseteq \mathbb Q[\alpha]$ . Pero, $\mathbb Q[\sqrt 2]\subseteq\mathbb R$ , mientras que $\alpha$ es complejo, por lo que $\mathbb Q[\sqrt 2]\neq \mathbb Q[\alpha]$ , por lo que debe ser que $[\mathbb Q[\alpha]:\mathbb Q] = 4$ .

En el gráfico de abajo se muestran las octavas raíces de la unidad. En rojo están las raíces de $x^4+1$ y el azul son raíces de $x^4-1$ .

Answer 2

$x^4+1=\Phi_8(x)$ es decir, las raíces de $x^4+1$ son las octavas raíces primitivas de la unidad y $x^4+1$ es el polinomio mínimo de $\alpha=\exp\left(\frac{2\pi i}{8}\right)=\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ . La extensión del campo $\mathbb{Q}\mapsto\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ tiene trivialmente grado dos y lo mismo ocurre con la extensión del campo $\mathbb{Q}(\sqrt{2})\mapsto\mathbb{Q}(\sqrt{2},1+i)$ ya que es una extensión compleja y el polinomio mínimo de $1+i$ en $\mathbb{Q}$ viene dada por $x^2-2x+2$ .
$x^4+1$ no tiene raíz racional y tampoco $(x-\alpha)(x-\alpha^3)$ , ni $(x-\alpha)(x-\alpha^5)$ ni $(x-\alpha)(x-\alpha^7)$ pertenecen a $\mathbb{Q}[x]$ Por lo tanto $x^4+1$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ .
En resumen, el grado del campo de división de $\Phi_8(x)$ en $\mathbb{Q}$ es $\varphi(8)=4$ .

Answer 3

Una pista:

$\zeta=\mathrm e^{\tfrac{i\pi}4}$ es una raíz de $x^4+1$ . ¿Cuáles son las otras raíces?